Вариант 7
Имеются данные, характеризующие уровень безработицы в регионе, %
Уровень безработицы
Январь Февраль Март Апрель Май Июнь Июль Август Сентябрь Октябрь
2,99 2,66 2,63 2,56 2,40 2,22 1,97 1,72 1,56 1,42

1. Постройте прогноз уровня безработицы в регионе на ноябрь, декабрь, январь месяцы, используя методы: скользящей средней, экспоненциального сглаживания, наименьших квадратов.
2. Постройте график фактических и расчетных показателей.
3. Рассчитайте ошибки полученных прогнозов при использовании каждого метода.
4. Сравните полученные результаты, сделайте вывод.
Решение.
1. Метод скользящей средней.
Скользящая средняя определяется по формуле:
m=Yin
Определяем величину интервала сглаживания равную 3 (n=3). Тогда, скользящая средняя по месяцам будет равна:
mфев=2,99+2,66+2,633=2,76
mмарт=2,66+2,63+2,563=2,62
mапр=2,63+2,56+2,43=2,53
mмай=2,56+2,4+2,223=2,39
mиюнь=2,4+2,22+1,973=2,2
mиюль=2,22+1,97+1,723=1,97
mавг=1,97+1,72+1,563=1,75
mсент=1,72+1,56+1,423=1,57
Рассчитав скользящую среднюю для всех периодов, строим прогноз на ноябрь по формуле:
yt+1=mt-1+1n∙(yt-yt-1)
yнояб=1,57+13∙1,42-1,56=1,57-0,05=1,52
Определяем скользящую среднюю для октября:
mокт=1,56+1,42+1,523=1,5
Строим прогноз на декабрь:
yдек=1,5+13∙1,52-1,42=1,53
Определяем скользящую среднюю для ноября:
mнояб=1,42+1,52+1,533=1,49
Строим прогноз на январь:
yянв=1,49+13∙1,53-1,52=1,49
Рассчитаем среднее относительное отклонение по формуле:
yФ-yрyф∙100%
Полученные результаты внесем в таблицу.

Период
Уровень безработицы Скользящая средняя Среднее относительное отклонение
Январь 2,99 — —
Февраль 2,66 2,76 3,76
Март 2,63 2,62 0,38
Апрель 2,56 2,53 1,17
Май 2,4 2,39 0,42
Июнь 2,22 2,2 0,9
Июль 1,97 1,97 0
Август 1,72 1,75 1,74
Сентябрь 1,56 1,57 0,64
Октябрь 1,42 — —
Итого: 9,01
Ноябрь (прогноз) 1,52

Декабрь (прогноз) 1,53

Январь (прогноз) 1,49

Среднюю относительную ошибку рассчитаем по формуле:
ε=1n∙i=1nyФ-yрyф∙100%
ε=1n∙9,01=1,13%
1,13%<10%-точность прогноза высокая.

2. Метод экспоненциального сглаживания.
Определяем значение параметра сглаживания по формуле:
α=2n+1
где, n — число наблюдений, входящих в интервал сглаживания.
α=210+1=0,2
Определяем начальное значение U0 двумя способами:
1 способ (средняя арифметическая):
U0 =2,99+2,66+ 2,63 +2,56+2,40+2,22+1,97+1,72+1,56+1,4210=22,1310=2,21
2 способ (принимаем первое значение базы прогноза):
U0 =2,99
Рассчитываем экспоненциально взвешенную среднюю для каждого периода, используя формулу:
Ut+1=α∙yt+(1-α)∙Ut
где, Ut+1 — прогнозируемый показатель;
α — параметр сглаживания;
yt — фактическое значение исследуемого показателя за период, предшествующий прогнозному;
Ut — экспоненциально взвешенная средняя для периода, предшествующего прогнозному.
По первому способу:
Uфев=2,99∙0,2+1-0,2∙2,21=2,37
Uмарт=2,66∙0,2+1-0,2∙2,37=2,43
Uапр=2,63∙0,2+1-0,2∙2,43=2,47
Uмай=2,56∙0,2+1-0,2∙2,47=2,49 и т.д.
По второму способу:
Uфев=2,99∙0,2+1-0,2∙2,99=2,99
Uмарт=2,66∙0,2+1-0,2∙2,99=2,92
Uапр=2,63∙0,2+1-0,2∙2,92=2,86
Uмай=2,56∙0,2+1-0,2∙2,86=2,8 и т.д.
По этой же формуле вычисляем прогнозное значение:
Uнояб=1,42∙0,2+1-0,2∙2,08=1,95 (1 способ)
Uнояб=1,42∙0,2+1-0,2∙2,18=2,03 (2 способ)
Рассчитываем среднюю относительную ошибку по формуле:
ε=1n∙i=1nyФ-yрyф∙100%
Полученные значения вносим в таблицу:

Месяц Уровень безработицы Экспоненциально взвешенная средняя Расчёт относительной ошибки yФ-yрyф∙100%

1 способ 2 способ 1 способ 2 способ
Январь 2,99 2,21 2,99 26,09 0
Февраль 2,66 2,37 2,99 10,9 12,41
Март 2,63 2,43 2,92 7,6 11,03
Апрель 2,56 2,47 2,86 3,52 11,72
Май 2,4 2,49 2,8 3,75 16,67
Июнь 2,22 2,47 2,72 11,26 22,52
Июль 1,97 2,42 2,62 22,84 32,99
Август 1,72 2,33 2,49 35,47 44,77
Сентябрь 1,56 2,21 2,34 41,67 50
Октябрь 1,42 2,08 2,18 46,48 53,52
Итого: 209,58 255,63
Ноябрь (прогноз)
1,95 2,03

ε=110∙209,58=20,96% (1 способ)
ε=110∙255,63=25,56% 2 способ
В обоих случаях точность прогноза является удовлетворительной, так как средняя относительная ошибка попадает в пределы 20-50%

3. Метод наименьших квадратов.
Для решения составим таблицу:
Месяц Уровень безработицы, Уф, % Условное обозначение времени, X

Уф∙X

X2

Ур Расчёт относительной ошибки
1 2 3 4 5 6 7
Январь 2,99 1 2,99 1 2,98 0,33
Февраль 2,66 2 5,32 4 2,81 5,64
Март 2,63 3 7,89 9 2,64 0,38
Апрель 2,56 4 10,24 16 2,47 3,52
Май 2,4 5 12 25 2,3 4,17
Июнь 2,22 6 13,32 36 2,13 4,05
Июль 1,97 7 13,79 49 1,96 0,51
Август 1,72 8 13,76 64 1,79 4,07
Сентябрь 1,56 9 14,04 81 1,62 3,85
Октябрь 1,42 10 14,2 100 1,45 2,11
Итого 22,13 55 107,55 385 — 28,63
Ноябрь (прогноз) 1,28

Декабрь (прогноз) 1,11

Январь (прогноз) 0,94

Определим условное обозначение времени как последовательную нумерацию периодов базы прогноза (графа 3). Рассчитаем графы 4 и 5. Расчетные значения ряда Ур определим по формуле:
Уt+1=a∙X+b
где, t+1 — прогнозный период;
Уt+1 — прогнозируемый показатель;
a и b — коэффициенты;
X — условное обозначение времени.
Коэффициенты a и b определим по следующим формулам:
a=Уф∙X-(X∙Уф)/nX2-(X)2/n
b=Уфn-a∙Xn
где, Уф — фактическое значение ряда динамики;
n — число уровней временного ряда.
a=107,55-55∙22,1310385-55210=-0,17
b=22,1310-(-0,17)∙5510=3,15
Ур1=-0,17∙1+3,15=2,98
Ур2=-0,17∙2+3,15=2,81
Ур3=-0,17∙3+3,15=2,64
Ур4=-0,17∙4+3,15=2,47
Ур5=-0,17∙5+3,15=2,3
Ур6=-0,17∙6+3,15=2,13
Ур7=-0,17∙7+3,15=1,96
Ур8=-0,17∙8+3,15=1,79
Ур9=-0,17∙9+3,15=1,62
Ур10=-0,17∙10+3,15=1,45
Определяем прогнозное значение:
Унояб=-0,17∙11+3,15=1,28
Удек=-0,17∙12+3,15=1,11
Уянв=-0,17∙13+3,15=0,94
Рассчитываем среднюю относительную ошибку по формуле:
ε=1n∙i=1nyФ-yрyф∙100%
ε=110∙28,63=2,86%-точность прогноза высокая.

Вывод: Сравнивая результаты, полученные при расчетах методом скользящей средней, методом экспоненциального сглаживания и методом наименьших квадратов, можно сказать, что средняя относительная ошибка при расчетах методом экспоненциального сглаживания попадает в пределы 20-50%. Это значит, что точность прогноза в данном случае является лишь удовлетворительной.
В первом и третьем случае точность прогноза является высокой, поскольку средняя относительная ошибка менее 10%. Но метод скользящих средних позволил получить более достоверные результаты (прогноз на ноябрь – 1,52%, прогноз на декабрь – 1,53%, прогноз на январь – 1,49%), так как средняя относительная ошибка при использовании этого метода наименьшая – 1,13%.

Вариант 7 Имеются данные характеризующие уровень безработицы в регионе