Насос подает жидкость из подземной ёмкости с избыточным давлением газа на поверхности жидкости

Насос подает жидкость из подземной ёмкости с избыточным давлением газа на поверхности жидкости. На всасывающей линии (длина l, рабочая высота всасывания насоса hвс, трубы сварные, бывшие в эксплуатации) имеются местные сопротивления: приёмная коробка с клапаном и сеткой, колено и кран с коэффициентом сопротивления ξкр. Показание вакуумметра на входе в насос равно pν, расход жидкости Q, температура t℃.
Определить диаметр трубы d и предельную высоту из условия отсутствия кавитации на входе в насос. Объяснить также, почему при кавитации насос не всасывает жидкость и рабочее колесо насоса выходит из строя.

Данные.
l=20 м; pν=55 кПа; ξкр=4; pu=10 кПа;
Q=25 лс;t=25℃; hвс=5,3 м
Жидкость – масло инд. 50.

Решение.
Выбираем два сечения 1-1 и 2-2, а также плоскость сравнения 0-0 и записываем в общем виде уравнение Бернулли:

z1+p1ρg+α1v122g=z2+p2ρg+α2v222g+h1-2
В нашем случае
Высоты центров тяжести сечений относительно плоскости 0-0
z1=0 м
z2=hвс=5,3 м
Абсолютные давления
p1=pатм+pu
p2=pатм-pν
При подстановке в формулу, атмосферные давления сократятся, то есть можно принять
p1=pu=10 кПа
p2=-pν=-55 кПа
Плотность масла при t0=50℃
ρ0=910 кгм3
Коэффициент теплового расширения для масла принимаем
α=0,0007 1℃
Плотность масла при t=25℃
∆t=t-t0=25-50=-25℃
ρ=ρ01+α∆t=9101-0,0007∙25≈926,2 кгм3
Коэффициенты Кориолиса α1 и α2 равны 1 при турбулентном и 2 при ламинарном течении жидкости
Ускорение свободного падения
g=9,81 мс2
Скорости течения жидкости зависят от диаметра трубы, который необходимо найти. Так как диаметр трубы одинаков, то
v1=v2=4Qπd2
Местные сопротивления
Приёмная коробка с клапаном и сеткой зависит от диаметра
ξкор
Колено, принимаем, что оно плавное
ξкол=0,23
Кран
ξкр=4
Сумма всех сопротивлений
ξΣ=ξкор+ξкол+ξкр
Так как у нас не дан диаметр трубы, и принимая, что кинематическая вязкость масла достаточно высокая, то предварительно зададимся, что у нас ламинарное движение жидкости.
Кинематическая вязкость масла при t1=20℃
ν1=5,3∙10-4м2с
Кинематическая вязкость масла при t2=40℃
ν2=1,1∙10-4м2с
β=lnν2ν1t2-t1=ln1,1∙10-45,3∙10-440-20≈-0,0786
ν=ν1eβt-t1=5,3∙10-4∙e-0,0786∙25-20≈3,58∙10-4м2с
Число Рейнольдса зависит от скорости.
Re=vdν
Коэффициент сопротивления рассчитываем по формуле для ламинарного течения.
λ=64Re=64νvd
Потери зависят от скорости
h1-2=λldv22g+ξΣv22g=64νvdldv22g+ξΣv22g=64νl2d2gv+ξΣ2gv2
Подставляем все в уравнение Бернулли
z1+p1ρg+α1v122g=z2+p2ρg+α2v222g+h1-2
Получаем при условии ламинарности течения и равных скоростей v1=v2
puρg=hвс-pνρg+64νl2d2gv+ξΣ2gv2
или
ξΣ2gv2+64νl2d2gv+hвс-pν+puρg=0
Имеем квадратное уравнение
av2+bv+c=0
где
a=ξΣ2g;b=64νl2d2g;c=hвс-pν+puρg
Решение этого уравнения
v1,2=-b±b2-4ac2a
Будем находить диаметр трубы методом последовательных приближений.
Зададимся начальным диаметром
d=100 мм=0,1 м
Местное сопротивление приемной коробки с клапаном и сеткой при данном диаметре
ξкор=7,0
Сумма всех сопротивлений
ξΣ=ξкор+ξкол+ξкр=7+0,23+4=11,23
При ламинарном течении вводим поправку на ламинарность
ξ=φξΣ
где φ зависит от числа Рейнольдса, забегая вперед, скажем, что число Рейнольдса будет примерно Re≈144, что соответствует при интерполяции
При Re=200 φ=4,2
При Re=600 φ=3,51
Получим
φ=3,51-4,2600-200144-200+4,2≈4,3
ξ=φξΣ=4,3∙11,23=48,289
Коэффициенты уравнения
a=ξΣ2g=48,2892∙9,81≈2,461
b=64νl2d2g=64∙3,58∙10-4∙202∙0,12∙9,81≈2,336
c=hвс-pν+puρg=5,3-55000+10000926,2∙9,81≈-1,854
Скорость
v1=-b-b2-4ac2a=-2,336-2,3362-4∙2,461∙-1,8542∙2,461≈-1,46 мс
v2=-b+b2-4ac2a=-2,336+2,3362-4∙2,461∙-1,8542∙2,461≈0,51 мс
Выбираем вторую скорость, так как она положительная
v=0,51 мс
Проверим число Рейнольдса
Re=vdν=0,51∙0,13,58∙10-4≈144<Reкр=2300
Как видим наши предположения о ламинарном характере течения жидкости и значении числа Рейнольдса оказались верными
Расход будет составлять
Q=vπd24=0,51∙π∙0,124≈0,0040 м3с=4 лс
Это меньше необходимого Q=25 лс, поэтому будем увеличивать диаметр
Опуская промежуточные шаги получим
d=194 мм=0,194 м
Местное сопротивление приемной коробки с клапаном и сеткой при данном диаметре, интерполируя между диаметрами 150 мм и 200 мм
При d=150 мм ξкор=6
При d=200 мм ξкор=5,2
ξкор=5,2-6200-150194-150+6=5,296
Сумма всех сопротивлений
ξΣ=ξкор+ξкол+ξкр=5,296+0,23+4=9,526
При ламинарном течении вводим поправку на ламинарность
ξ=φξΣ
где φ зависит от числа Рейнольдса, забегая вперед, скажем, что число Рейнольдса будет примерно Re≈462, что соответствует при интерполяции
При Re=200 φ=4,2
При Re=600 φ=3,51
Получим
φ=3,51-4,2600-200462-200+4,2≈3,75
ξ=φξΣ=3,75∙9,526≈35,723
Коэффициенты уравнения
a=ξΣ2g=35,7232∙9,81≈1,821
b=64νl2d2g=64∙3,58∙10-4∙202∙0,1942∙9,81≈0,621
c=hвс-pν+puρg=5,3-55000+10000926,2∙9,81≈-1,854
Скорость
v1=-b-b2-4ac2a=-0,621-0,6212-4∙1,821∙-1,8542∙1,821≈-1,19 мс
v2=-b+b2-4ac2a=-0,621+0,6212-4∙1,821∙-1,8542∙1,821≈0,85 мс
Выбираем вторую скорость, так как она положительная
v=0,85 мс
Число Рейнольдса.
Re=vdν=0,85∙0,1943,58∙10-4≈462<Reкр=2300
Как видим наши предположения о ламинарном характере течения жидкости и значении числа Рейнольдса оказались верными
Расход будет составлять
Q=vπd24=0,85∙π∙0,19424≈0,00252 м3с=25,2 лс
Требуемый расход достигнут в пределах погрешности ±0,5 лс
Остается проверить предположение о характере движения жидкости
Проверяем условие нормальной работы насоса. Для этого необходимо, что бы в сечениях потока, где давление ниже атмосферного, было выдержано условие: давление жидкости больше давления насыщенного пара.
Табличного значения давления насыщенных паров для масла индустриального 50 нет (предельную высоту мы обнаружить не сможем по этой же причине), однако по приложению 8, заметим, что для любой жидкости в этой таблице давление насыщения меньше абсолютного давления в сечении 2-2
p2-2=pатм-pν=100000-55000=45 кПа
К тому же масло такой высокой вязкости очень плохо испаряется, так что скорее всего явления кавитации не возникнет в любом случае.
Если бы кавитация возникала, то давление жидкости было бы меньше давления насыщенных паров и жидкость бы просто потекла в обратную сторону, поэтому насос не смог качать воду и быстро вышел из строя.