Лабораторная работа №3. Исследование радиально-сферического установившегося фильтрационного потока несжимаемой жидкости в однородном пласте.
Приведенное давление на контуре питания PK*=9,1 МПа=9,1⋅106 Па, приведенное давление на забое скважины Pc*=6,6 МПа=6,6⋅106 Па, радиус полусферического контура питания RK=1600 м, радиус скважины rc=0,16 м, динамическая вязкость фильтрующейся жидкости μ=3,5 мПа⋅с=3,5⋅10-3 Па⋅с, плотность фильтрующейся жидкости ρ=935 кг/м3, проницаемость пористого пласта k=0,7 мкм2=7⋅10-13 м2, пористость m=23%=0,23.
Решение:
В подземной гидромеханике под установившимся (стационарным) фильтрационным потоком понимается такой поток, фильтрационные характеристики которого постоянны во времени, т.е. распределение давления P, градиента давления, скорости фильтрации v, массовый расход (дебит) Q и другие параметры не изменяются во времени
∂P∂t=0, P=Px,y,z,
∂v∂t=0, v=vx,y,z,
Q=const.
Установившиеся фильтрационные потоки описываются линейным законом Дарси
v=-kμgrad P,
что приводит для несжимаемой жидкости к уравнению Лапласа на давление
ΔP=0.
Рассмотрим установившуюся фильтрацию жидкости к скважине, вскрывшей однородный пласт весьма большой (теоретически бесконечной) толщины, через полусферический забой, радиус которого равен радиусу скважины rc, пробуренной в однородном по параметрам горизонтальном круговом пласте с внешним радиусом RK с непроницаемой кровлей пласта (рис. 1). Поверхность этого полусферического пласта представляет собой контур питания. Характерными особенностями такого потока являются, во-первых, частицы жидкости движутся прямолинейно и их траектории радиально сходятся в центре полусферического забоя (точке О), и во-вторых, в таком установившемся потоке напор и скорость фильтрации в любой его точке будут функцией только расстояния этой точки r от центра забоя скважины О, а следовательно, поток является одномерным. Такой установившийся фильтрационный поток называется радиально-сферическим.

Рис. 1. Схема радиально-сферического фильтрационного потока.

Уравнение Лапласа для установившейся радиально-сферической фильтрации несжимаемой жидкости в сферических координатах имеет вид
ddrr2dP*dr=0,
где P*r=P+ρgz – приведенное давление на расстоянии r от точки О, Па;
P – истинное давление в точке пласта, Па;
ρ – плотность фильтрующейся жидкости, кг/м3;
g – ускорение свободного падения, м/с2;
z – расстояние от уровня приведения до точки пласта, м;
r – расстояние от точки О скважины до рассматриваемой точки, м.
Интегрирование уравнения Лапласа для приведенного давления P* дает следующее распределение давления
r2dP*dr=A,
P*=B-Ar.
Постоянные интегрирования A, B найдем из граничных условий – заданного постоянного приведенного давления на контуре питания P*RK=PK* и на забое скважины P*rc=Pc*
A=PK*-Pc*1rc-1RK, B=PK*+ARK=Pc*+Arc.
Тогда
P*=PK*-PK*-Pc*1rc-1RK1r-1RK=Pc*+PK*-Pc*1rc-1RK1rc-1r.
P*=9,1⋅106-9,1⋅106-6,6⋅10610,16-116001r-11600≈
≈9,1⋅106-0,4⋅106r Па=9,1-0,4r МПа.
Таким образом, приведенное давление в любой точке пласта обратно пропорционально координате r этой точки, т.е. зависимость приведенного пластового давления от r гиперболическая. Поверхности равного приведенного давления (равного напора) представляют собой концентричные полусферы. Понятно, что в разных точках одной и той же поверхности равного напора истинные давления будут различны. Но, зная высотную отметку точки пласта, плотность пластовой жидкости, распределение приведенных пластовых давлений, легко найти истинное давление в любой точке пласта.

Градиент приведенного давления равен
grad P*=dP*dr=PK*-Pc*1rc-1RK⋅1r2.
grad P*=9,1⋅106-6,6⋅10610,16-11600⋅1r2≈0,4r2 МПа/м.
Скорость фильтрации направлена к центру скважины (точке О), т.е. в направлении, обратном оси r, поэтому имеет знак «минус», и по абсолютной величине равна
v=kμgrad P*=kμ⋅PK*-Pc*1rc-1RK⋅1r2,
где v – скорость фильтрации, м/с; k – проницаемость пласта, м2; μ – динамическая вязкость фильтрующейся жидкости, Па·с.
v=7⋅10-133,5⋅10-3⋅9,1⋅106-6,6⋅10610,16-11600⋅1r2≈8⋅10-5r2 м/c.
Как видно, градиент приведенного давления и скорость фильтрации в любой точке пласта обратно пропорционально квадрату расстояния r этой точки от забоя скважины.
Изобразим графически распределение приведенного давления (рис. 2, в полулогарифмической шкале), градиента приведенного давления (рис. 3, в логарифмической шкале) и скорости фильтрации (рис. 4, в логарифмической шкале) по пласту в зависимости от текущего радиуса r = 10, 25, 50, 75, 100, 200, 400, 600, 800, 1000, 1200, 1400, 1600, м (табл. 1). Из рисунков видно, что при значениях радиуса близких к радиусу контура питания, значения приведенного давления изменяются незначительно, но при приближении к скважине приведенное давление резко изменяется – падает до значения приведенного давления в забое скважины. Аналогично ведет себя и градиент приведенного давления, и скорость фильтрации (с той лишь разницей, что приведенное давление при приближении к скважине резко уменьшается, а градиент давления и скорость – возрастают).

Таблица 1. Значения искомых функций в зависимости от радиуса
r, м
10 25 50 75 100 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600
P*, МПа
9,060 9,084 9,092 9,095 9,096 9,098 9,099 9,099 9,100 9,100 9,100 9,100 9,100
grad P*,
Па/м
4000 640 160 71 40 10 2,5 1,111 0,625 0,400 0,278 0,204 0,156
v,
10-10 м/с
8000 1280 320 142 80 20 5,0 2,222 1,250 0,800 0,556 0,408 0,313

P*, МПа

r, м
Рис. 2. График приведенного давления в зависимости от радиуса

Из физических соображений, подобное поведение функций, определяющих изменение в пласте приведенного давления и скорости фильтрации, легко объяснимо. В самом деле, через любую полусферическую поверхность, концентрично расположенную относительно скважины, в единицу времени протекает один и тот же объем несжимаемой жидкости (Q=const). Поэтому вблизи контура питания площадь поверхности полусферы очень велика и скорости малы. При приближении к скважине площадь поверхности постоянно уменьшается и скорость возрастает. Для того чтобы скорость возрастала, необходимо увеличение градиента давления.
grad P*, Па/м

r, м
Рис. 3. График градиента приведенного давления в зависимости от радиуса

v, 10-10 м/с

r, м
Рис. 4. График фильтрационной скорости в зависимости от радиуса
Дебит (объемный расход) добывающей скважины равен
Q=Srv,
где Sr – площадь поверхности полусферы радиусом r, Sr=2πr2. Тогда
Q=2πr2v=2πr2kμ⋅PK*-Pc*1rc-1RK⋅1r2=2πkμ⋅PK*-Pc*1rc-1RK.
Q=2⋅3,14⋅7⋅10-133,5⋅10-3⋅9,1⋅106-6,6⋅10610,16-11600≈5⋅10-4 м3/с=
=5⋅10-4⋅24⋅3600 м3/сут=43,2 м3/сут.
Массовый расход добывающей скважины равен
Qм=ρQ,
где ρ – плотность фильтрующейся жидкости, кг/м3.
Qм=935⋅5⋅10-4=0,4675 кг/с=0,4675⋅10-3⋅24⋅3600 т/сут≈
≈40,4 т/сут.
Определим средневзвешенное по объему порового пространства Vп приведенное пластовое давление
P*=1VпVпP*dVп.
Для однородного пласта dVп=mdV, Vп=mV (m – пористость пласта), поэтому
P*=1mVVP*mdV=1VVP*dV.
Следовательно, для однородного пласта средневзвешенное по объему пор приведенное давление равно среднему по всему пласту приведенному давлению. Объем пласта равен половине объема шара радиусом RK, V=23πRK3. В интеграле по объему V перейдем к сферическим координатам, получим
P*=123πRK30π2sinθdθ02πdϕrcRKPK*-PK*-Pc*1rc-1RK1r-1RKr2dr=
=3RK3rcRKPK*-PK*-Pc*1rc-1RK1r-1RKr2dr=
=3RK3PK*3RK3-rc3-12⋅PK*-Pc*1rc-1RKRK2-rc2+13⋅PK*-Pc*1rc-1RKRK2-rc3=
=PK*1-rc3RK3-32⋅PK*-Pc*1rc-1RK1RK-rc2RK3+PK*-Pc*1rc-1RK1RK-rc3RK3.
Ввиду малости rc по сравнению с RK слагаемыми rc2RK3 и rc3RK3 можно пренебречь, тогда получим
P*≈PK*-PK*-Pc*2RKrc.
P*=9,1⋅106-9,1⋅106-6,6⋅106216000,16=9,1⋅106-1,25⋅102≈9,1⋅106 Па=
=9,1 МПа.
Для определения времени движения частицы жидкости от контура питания до произвольной точки пласта имеем следующее уравнение
drdt=u=vm,
где u – средняя истинная скорость течения жидкости, м/с; m – пористость пласта. Разделив переменные в дифференциальном уравнении и проинтегрировав его с пределами интегрирования от 0 до произвольного момента времени t и от радиуса контура питания до r, получим
0tdt=-RKrmvdr=-RKrmQ2πr2dr=-2πmQRKrr2dr,
t=2πmQ⋅RK3-r33.
Тогда время движения частицы от контура питания до скважины (r=rc) равно
T=2πmQ⋅RK3 –rc33≈2πm3QRK3,
где мы пренебрегли величиной rc3 ввиду ее малости по сравнению с RK3 .
T=2⋅3,14⋅0,233⋅5⋅10-4⋅16003≈3,94⋅1012 с=3,94⋅101224⋅3600 сут≈4,6⋅107 сут.
Таким образом, нами изучены основные характеристики установившегося радиально-сферического фильтрационного потока, получены их распределения, и проведен анализ полученных результатов.
Ответ:
Распределение приведенного давления
P*≈9,1-0,4r МПа.
Градиент приведенного давления
grad P*≈0,4r2 МПа/м.
Скорость фильтрации
v≈8⋅10-5r2 м/c.
Дебит (объемный расход) добывающей скважины
Q≈5⋅10-4 м3/с=43,2 м3/сут.
Массовый расход добывающей скважины
Qм≈40,4 т/сут.
Средневзвешенное по объему порового пространства приведенное давление
P*≈9,1 МПа.
Время движения частицы жидкости от контура питания до центра забоя скважины
T≈3,94⋅1012 с≈4,6⋅107 сут.

Лабораторная работа №3 Исследование радиально-сферического установившегося фильтрационного потока несжимаемой жидкости в однородном пласте