3 Найти координаты центра тяжести пространственной фигуры состоящей из шести однородных стержней

3:
Найти координаты центра тяжести пространственной фигуры, состоящей из шести однородных стержней. Размеры даны в метрах.

i
Li xi yi
zi
1 7.55 2 -2 2.5
2 6.4 2 0 2.5
3 7.81 4 3 2.5
4 7.21 2 3 5
5 4 2 6 5
6 6.4 2 6 2.5

Теория:
Аксиомы статики.
Аксиома 1. Если на свободное абсолютно твердое тело действуют две силы, то тело может находиться в равновесии тогда и только тогда, когда эти силы равны по модулю (F1 = F2) и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны (рис. 10).

Рис.10
 
Аксиома 1 определяет простейшую уравновешенную систему сил, так как опыт показывает, что свободное тело, на которое действует только одна сила, находиться в равновесии не может.
Аксиома 2. Действие данной системы, сил на абсолютно твердое тело не изменится, если к ней прибавить или от нее отнять уравновешенную систему сил.
Эта аксиома устанавливает, что две системы сил, отличающиеся на уравновешенную систему, эквивалентны друг другу.
Следствие из 1-й и 2-й аксиом. Действие силы на абсолютно твердое тело не изменится, если перенести точку приложения силы вдоль ее линии действия в любую другую точку тела.

Рис.11
 
В самом деле, пусть на твердое тело действует приложенная в точке А сила  (рис.11). Возьмем на линии действия этой силы произвольную точку В и приложим к ней две уравновешенные силы  и , такие, что , . От этого действие силы  на тело не изменится. Но силы  и  согласно аксиоме 1 также образуют уравновешенную систему, которая может быть отброшена. В результате на тело. Будет действовать только одна сила , равная , но приложенная в точке В.
Таким образом, вектор, изображающий силу , можно считать приложенным в любой точке на линии действия силы (такой вектор называется скользящим).
Аксиома 3 (аксиома параллелограмма сил). Две силы, приложенные к телу в одной точке, имеют равнодействующую, приложенную в той же точке и изображаемую диагональю параллелограмма, построенного на этих силах, как на сторонах.
Вектор , равный диагонали параллелограмма, построенного на векторах  и  (рис.12), называется геометрической суммой векторов  и : .

Рис.12
 
Величина равнодействующей
.   
Конечно,  Такое равенство будет соблюдаться только при условии, что эти силы направлены по одной прямой в одну сторону. Если же векторы сил окажутся перпендикулярными, то 
Следовательно, аксиому 3 можно еще формулировать так: две силы, приложенные к телу в одной точке, имеют равнодействующую, равную геометрической (векторной) сумме этих сил и приложенную в той же точке.           
Аксиома 4 (принцип противодействия). При всяком действии одного материального тела на другое имеет место такое же по величине, но противоположное по направлению противодействие.
Закон о равенстве действия и противодействия является одним из основных законов механики. Из него следует, что если тело А действует на тело В с силой , то одновременно тело В действует на тело Ас такой же по модулю и направленной вдоль той же прямой, но противоположную сторону силой  (рис. 13). Однако силы  и не образуют уравновешенной системы сил, так как они приложены к разным телам. Эта аксиома соответствует третьему закону Ньютона: действие всегда равно и противоположно противодействию. При этом необходимо помнить, что в аксиоме 4 рассматривается случай, когда силы приложены к разным телам и в этом случае система сил не является уравновешенной в отличие от случая действия сил в аксиоме 2.
 

Рис.13
 
Этот принцип утверждает, что в природе не существует односторонних явлений. На рис. 13.1 изображена балка, опирающаяся на стены концами А и В. Для выявления сил действия и противодействия отделим балку от стен. Тогда силы действия балки на стену выражаются силами DA и DB, приложенными к стенам, а силы противодействия – силами RA и RB, приложенными к балке, которые в дальнейшем будем называть реакциями.
.
Рис. 13.1. Опирание балки на опоры:
а – схема загружения балки; б – силы действия балки на
опоры и противодействия со стороны опор на балку
 
Аксиома 5 (принцип отвердевания). Равновесие изменяемого (деформируемого) тела, находящегося под действием данной системы сил, не нарушится, если тело считать отвердевшим (абсолютно твердым). Из принципа отвердения следует, что условия, необходимые и достаточные для равновесия абсолютно твердого тела, необходимы, но не достаточны для равновесия деформируемого тела, по форме и размерам тождественного с данным.
Высказанное в этой аксиоме утверждение очевидно. Например, ясно, что равновесие цепи не нарушится, если ее звенья считать сваренными друг с другом и  т. д.
Аксиома 6 (аксиома связей). Всякое несвободное тело можно рассматривать как свободное, если механическое действие связей заменить реакциями этих связей (пояснения к этой аксиоме в следующем параграфе).
Приведенные принципы и аксиомы положены в основу методов решения задач статики. Все они широко используются в инженерных расчетах.

Связи.
По определению, тело, которое не скреплено с другими телами и может совершать из данного положения любые перемещения в пространстве, называется свободным (например, воздушный шар в воздухе). Тело, перемещениям которого в пространстве препятствуют какие-нибудь другие, скрепленные или соприкасающиеся с ним тела, называется несвободным. Все то, что ограничивает перемещения данного тела в пространстве, будем называть связью.
Например, тело лежащее на столе – несвободное тело. Связью его является плоскость стола, которая препятствует перемещению тела вниз.

Принцип освобождаемости от связи.
Любое несвободное тело можно сделать свободным, если связи убрать, а действие их на тело заменить силами, такими, чтобы тело оставалось в равновесии.
Сила, с которой данная связь действует на тело, препятствуя тем ила иным его перемещениям, называется силой реакции (противодействия) связи или просто реакцией связи.

Виды реакций связей.
1. Гладкая плоскость (поверхность) или опора. Гладкой будем называть поверхность, трением о которую данного тела можно в первом приближении пренебречь. Такая поверхность не дает телу перемещаться только по направлению общего перпендикуляра (нормали) к поверхностям соприкасающихся тел в точке их касания (рис.14,а). Поэтому реакция N гладкой поверхности или опоры направлена по общей нормали к поверхностям соприкасающихся тел в точке их касания и приложена в этой точке. Когда одна из соприкасающихся поверхностей является точкой (рис. 14,б), то реакция направлена по нормали к другой поверхности.
Если поверхности не гладкие, надо добавить еще одну силу – силу трения , которая направлена перпендикулярно нормальной реакции  в сторону, противоположную возможному скольжению тела.
 
           
 
Рис.14                                                           Рис.15
 

Рис.16
       
2. Нить (гибкие связи). Связь, осуществленная в виде гибкой нерастяжимой нити (рис.15), не дает телу М удаляться от точки подвеса нити по направлению AM. Поэтому реакция Т натянутой нити направлена вдоль нити от тела к точке ее подвеса. Если даже заранее можно догадаться, что реакция направлена к телу, все равно ее надо направить от тела. Таково правило. Оно избавляет от лишних и ненужных предположений и, как убедимся далее, помогает установить сжат стержень или растянут.
3. Цилиндрический шарнир (подшипник). Если два тела соединены болтом, проходящим через отверстия в этих телах, то такое соединение называется шарнирным или просто шарниром; осевая линия болта называется осью шарнира. Тело АВ, прикрепленное шарниром к опоре D (рис.16,а), может поворачиваться как угодно вокруг оси шарнира (в плоскости чертежа); при этом конец А тела не может переместиться ни по какому направлению, перпендикулярному к оси шарнира. Поэтому реакция R цилиндрического шарнира может иметь любое направление в плоскости, перпендикулярной к оси шарнира, т.е. в плоскости Аху. Для силы R в этом случае наперед не известны ни ее модуль R, ни направление (угол ).
4. Шаровой шарнир и подпятник. Этот вид связи закрепляет какую-нибудь точку тела так, что она не может совершать никаких перемещений в пространстве. Примерами таких связей служат шаровая пята, с помощью которой прикрепляется фотоаппарат к штативу (рис.16,б) и подшипник с упором (подпятник) (рис. 16,в). Реакция R шарового шарнира или подпятника может иметь любое направление в пространстве. Для нее наперед неизвестны ни модуль реакции R, ни углы, образуемые ею с осями х, у, z.
 

Рис.17
 
5. Стержень. Пусть в какой-нибудь конструкции связью является стержень АВ, закрепленный на концах шарнирами (рис.17). Примем, что весом стержня по сравнению с воспринимаемой им нагрузкой можно пренебречь. Тогда на стержень будут действовать только две силы приложенные в шарнирах А и В. Но если стержень АВ находится в равновесии, то по аксиоме 1 приложенные в точках А и В силы должны быть направлены вдоль одной прямой, т. е. вдоль оси стержня. Следовательно, нагруженный  на  концах  стержень, весом  которого по сравнению с этими нагрузками можно пренебречь, работает только на растяжение или на сжатие. Если такой стержень является связью, то реакция  стержня будет направлена вдоль оси стержня.
6. Подвижная шарнирная опора (рис.17.1). Это устройство представляет собой опорный элемент (подшипник), внутри которого вращается палец (ось) шарнира. Такая опора не препятствует вращению вокруг оси, но препятствует движению тела в любом направлении в плоскости, перпендикулярной к оси шарнира. Реакция  такой опоры направлена по нормали к поверхности, на которую опираются катки подвижной опоры. На схемах эту связь изображают так, как показано на рис. 17.1.
 

Рис.17.1. Шарнирно подвижная опора:
а – вид катковой опоры; б – расчетная схема шарнирно-подвижных опор
 
7. Неподвижная шарнирная опора (рис.18). Реакция R шарнирно-неподвижной опоры расположена в плоскости, перпендикулярной оси возможного вращения, и ее направление определяют две взаимно перпендикулярные составляющие Rx и Ry, соответствующие направлению выбранных осей (рис. 18, а). В строительной механике шарнирно-неподвижную опору изображают в виде двух шарнирных стержней пересекающихся в точке опоры (рис.18, б) или шарнира (рис 18, в). При решении задач будем реакцию  изображать ее составляющими  и  по направлениям осей координат. Если мы, решив задачу, найдем  и , то тем самым будет определена и реакция ; по модулю R.

Рис.18. Шарнирно-неподвижная опора:
а – вид шарнирно-неподвижной опоры;
б, в – расчетные схемы шарнирно-неподвижных опор
      
Способ закрепления, показанный на рис.18, употребляется для того, чтобы в балке не возникало дополнительных напряжений при изменении ее длины от изменения температуры или от изгиба.
8. Неподвижная защемляющая опора или жесткая заделка (рис.19, а). Это соединение исключает возможность каких-либо перемещений абсолютного твердого тела. Балка, изображенная на рис.19, а, жестко заделана в стену в точке А. Перемещению ее в вертикальном направлении, препятствует реакция Ry, перемещению в горизонтальном направлении препятствует реакция Rx и повороту вокруг точки А – опорный момент МА. Характерным для данной опоры является наличие опорного момента сил, исключающего вращение тела вокруг любой оси. Схематическое изображение такой опоры в теоретической механике показано на рис. 1.9, б. Если под такую балку где-нибудь в точке В подвести еще одну опору, то балка станет статически неопределимой.
С помощью указанных опорных связей сооружения прикрепляются к фундаментам или отдельные элементы соединяются между собой.

Рис. 19. Жесткая заделка:
а – вид жесткой заделки; б – расчетная схема жесткой заделки
Сходящаяся система сил.
Из законов механики следует, что твердое тело, на которое действуют взаимно уравновешенные внешние силы, может не только находиться в покое, но и совершать движение, которое мы назовем движением «по инерции». Таким движением будет, например, поступательное равномерное и прямолинейное движение тела.
Отсюда получаем два важных вывода:
1) Условиям равновесия статики удовлетворяют силы, действующие как на покоящееся тело, так и на тело, движущееся «по инерции».
2) Уравновешенность сил, приложенных к свободному твердому телу, является необходимым, но не достаточным условием равновесия (покоя) самого тела; в покое тело будет при этом находиться лишь в том случае, если оно было в покое и до момента приложения к нему уравновешенных сил.
Для равновесия приложенной к твердому телу системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая этих сил была равна нулю. Условия, которым при этом должны удовлетворять сами силы, можно выразить в геометрической или аналитической форме.
1. Геометрическое условие равновесия. Так как равнодействующая   сходящихся сил определяется как замыкающая сторона силового многоугольника, построенного из этих сил, то   может обратиться в нуль тогда и только тогда, когда конец последней силы в многоугольнике совпадает с началом первой, т. е. когда многоугольник замкнется.
Следовательно, для равновесия системы, сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник, построенный из этих сил, был замкнут.
2. Аналитические условия равновесия. Аналитически равнодействующая системы сходящихся сил определяется формулой
.
Так как под корнем стоит сумма положительных слагаемых, то R обратится в нуль только тогда, когда одновременно , т. е. когда действующие на тело силы будут удовлетворять равенствам:

Равенства выражают условия равновесия в аналитической форме: для равновесия пространственной системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций этих сил на каждую из трех координатных осей были равны нулю.
Если все действующие на тело сходящиеся силы лежат в одной плоскости, то они образуют плоскую систему сходящихся сил. В случае плоской системы сходящихся сил получим, очевидно, только два условия равновесия

Равенства выражают также необходимые условия (или уравнения) равновесия свободного твердого тела, находящегося под действием сходящихся сил.

Теорема о действии трёх сил.
Уравновешенная плоская система трех непараллельных сил является сходящейся.
Сложение параллельных сил, направленных в одну сторону.
Пусть даны две параллельные силы  и , направленные в одну сторону и приложенные к точкам  и  (рис.22).

Рис.22
 
Конечно, величина их равнодействующей . Вектор её параллелен силам и направлен в ту же сторону. С помощью теоремы Вариньона найдём точку приложения равнодействующей – точку С. По этой теореме .
Значит  
Отсюда .  То есть точка приложения равнодействующей делит расстояние между точками A1 и A2 на части обратно пропорциональные силам.

Координаты центра масс.
Рассмотрим твердое тело весом P и объемом V в системе координат Oxyz , где оси x и y связаны с поверхностью земли, а ось z направлена в зенит.
Если разбить тело на элементарные части объемом ∆Vi , то на каждую его часть будет действовать сила притяжения ∆Pi, направленная к центру Земли. Предположим, что размеры тела значительно меньше размеров Земли, тогда систему сил, приложенных к элементарным частям тела можно считать не сходящейся, а параллельной (рис.3), и к ней применимы все выводы предыдущей главы.

Рис.3
                       
Определение. Центром тяжести твердого тела называется центр параллельных сил тяжести элементарных частей этого тела.
Напомним, что удельным весом элементарной части тела называется отношение ее веса ∆Pi к объему ∆Vi: γi = ∆Pi/∆Vi. Для однородного тела эта величина является постоянной: γi = γ = P/V.
Подставляя в (2) ∆Pi = γi ∙∆Vi  вместо Pi, учитывая последнее замечание и сокращая числитель и знаменатель на g, получим выражения координат центра тяжести однородного тела:
xc = (Σ∆Vi∙xi)/(Σ∆Vi);
yc = (Σ∆Vi∙yi)/(Σ∆Vi);                         (3)
zc = (Σ∆Vi∙zi)/(Σ∆Vi).
При определении центра тяжести полезны несколько теорем.
1) Если однородное тело имеет плоскость симметрии, то центр тяжести его находится в этой плоскости.
Если оси х и у расположить в этой плоскости симметрии, то для каждой точки с координатами  можно отыскать точку с координатами . И координата  по (3), будет равна нулю, т.к. в сумме все члены имеющие противоположные знаки, попарно уничтожаются. Значит центр тяжести расположен в плоскости симметрии.
2) Если однородное тело имеет ось симметрии, то центр тяжести тела находится на этой оси.
Действительно, в этом случае, если ось z провести по оси симметрии, для каждой точки с координатами  можно отыскать точку с координатами   и координаты  и , вычисленные по формулам (3), окажутся равными нулю.
Аналогично доказывается и третья теорема.
3) Если однородное тело имеет центр симметрии, то центр тяжести тела находится в этой точке.
И ещё несколько замечаний.
Первое. Если тело можно разделить на части, у которых известны вес и положение центра тяжести, то незачем рассматривать каждую точку, а в формулах (3) Pi – определять как вес соответствующей части и   – как координаты её центра тяжести.
Второе. Если тело однородное, то вес отдельной части его , где – удельный вес материала, из которого сделано тело, а Vi – объём этой части тела. И формулы (3) примут более удобный вид. Например,
 
И аналогично,  где  – объём всего тела.
Третье замечание. Пусть тело имеет вид тонкой пластинки площадью F и толщиной t, лежащей в плоскости Oxy. Подставляя в (3) ∆Vi = t∙∆Fi, получим координаты центра тяжести однородной пластинки:
xc = (Σ∆Fi∙xi) / (Σ∆Fi);
yc = (Σ∆Fi∙yi) / (Σ∆Fi).
zc = (Σ∆Fi∙zi) / (Σ∆Fi).
где    – координаты центра тяжести отдельных пластин;  – общая площадь тела.
Четвёртое замечание. Для тела в виде тонкого криволинейного стержня длиной L с площадью поперечного сечения a элементарный объем ∆Vi = a∙∆Li, поэтому координаты центра тяжести тонкого криволинейного стержня будут равны:
xc = (Σ∆Li∙xi)/(Σ∆Li);
yc = (Σ∆Li∙yi)/(Σ∆Li);                                 (4)
zc = (Σ∆Li∙zi)/(Σ∆Li).
где   – координаты центра тяжести i-го участка; .
Отметим, что согласно определению центр тяжести – это точка геометрическая; она может лежать и вне пределов данного тела (например, для кольца).
Примечание.
В этом разделе курса мы не делаем разницы между силой притяжения, силой тяжести и весом тела. В действительности сила тяжести представляет собой разность между силой притяжения Земли и центробежной силой, вызванной ее вращением.

Методы определения координат центра масс.
Исходя из полученных выше общих формул,  можно указать конкретные способы определения координат центров тяжести тел.
1. Симметрия. Если однородное тело имеет плоскость, ось или центр симметрии (рис.7), то его центр тяжести лежит соответственно в плоскости симметрии, оси симметрии или в центре симметрии.

Рис.7
 
2. Разбиение. Тело разбивается на конечное число частей (рис.8), для каждой из которых положение центра тяжести и площадь известны.

Рис.8
 

S=S1+S2.
3. Метод отрицательных площадей. Частный случай способа разбиения (рис.9). Он применяется к телам, имеющим вырезы, если центры тяжести тела без выреза и вырезанной части известны. Тело в виде пластинки с вырезом представляют комбинацией сплошной пластинки  (без выреза) с площадью S1 и площади вырезанной части S2 .

Рис.9
 

S=S1-S2.
4. Метод группировки. Является хорошим дополнением двух последних методов. После разбиения фигуры на составные элементы часть их бывает удобно объединить вновь, чтобы затем упростить решение путем учета симметрии этой группы.