1 В книге В Феллера "Введение в теорию вероятностей" 500 страниц

1. В книге В. Феллера “Введение в теорию вероятностей” 500 страниц. Чему равна вероятность того, что открытая наугад страница будет иметь номер, кратный 9?
Решение:
Число всех исходов испытания равно
n=500.
Число благоприятных исходов испытания (число страниц с номером, кратным 9) равно
m=55.
Вероятность того, что открытая наугад страница будет иметь номер, кратный 9, равна:
P=mn=55500=11100=0,11.
Вероятность того, что открытая наугад страница будет иметь номер, кратный 9, равна 0,11.
2. При записи фамилий членов некоторого собрания, общее число которых 420, оказалось, что начальной буквой фамилии у 10 чел. была “А”, у 6 чел. – “Е”, у 9 чел. – “И”, у 12 чел. – “О”, у 5 человек – “У” и у 3 чел. – “Ю”. У остальных фамилии начинались с согласной буквы. Найти вероятность того, что фамилия члена данного собрания начинается с согласной буквы.
Решение:
Вероятность того, что фамилия члена собрания начинается с согласной буквы:
P=mn,
где n=420 – число всех исходов (общее число членов собрания);
m=420-(10+6+9+12+5+3)=375 число благоприятных исходов (число членов собрания, фамилия у которых начинается с согласной буквы).
P=375420=7584.
Вероятность того, что фамилия члена данного собрания начинается с согласной буквы, равна 7584.
3. Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и поэтому набирает ее наугад. Какова вероятность того, что ему придется звонить не более, чем в три места? Как изменится вероятность, если известно, что последняя цифра – нечетная?
Решение:
Вероятность того, что абоненту придется звонить не более, чем в три места равна:
P=110+45∙15+45∙35∙15=0,262.
Если известно, что последняя цифра – нечетная, то необходимо делать выбор одной цифры из пяти цифр, поэтому:
P=15+45∙15+45∙35∙15=0,456.
Вероятность того, что абоненту придется звонить не более, чем в три места равна 0,262. Если последняя цифра нечетная, то вероятность увеличится до 0,456.
4. Прибор может работать в двух режимах: нормальном и ненормальном. Нормальный режим наблюдается в 80% случаев, ненормальный – в 20%. Вероятность выхода прибора из строя за время t в нормальном режиме составляет 0,1, в ненормальном режиме – 0,7. Найти вероятность выхода прибора из строя за время t.
Решение:
Пусть событие A – выход прибора из строя за время t. Введем следующие гипотезы:
H1- прибор работает в нормальном режиме
H2- прибор работает в ненормальном режиме.
Так как нормальный режим наблюдается в 80% случаев, ненормальный – в 20%, то вероятности гипотез равны:
PH1=0,80; PH2=0,20
Вероятность выхода прибора из строя за время t в нормальном режиме равна PAH1=0,1, в ненормальном режиме – PAH2=0,7.
По формуле полной вероятности вероятность события A равна:
PA=PAH1PH1+PAH2PH2=0,1∙0,80+0,7∙0,20=0,22.
Вероятность выхода прибора из строя за время t равна 0,22.
5. Некто заблудился в лесу и вышел на поляну, откуда вело 5 одинаковых дорог. Вероятность выхода из леса за 1 час для различных дорог равны соответственно: 0,6, 0,3, 0,2, 0,1, 0,1. Какова вероятность, что человек пошел по первой дороге, если в течение часа он вышел из леса?
Решение:
Пусть событие A – человек вышел из леса за 1 час.
Введем следующие гипотезы:
Hi – человек пошел по i-ой дороге (i=1, 2, 3, 4, 5)
Вероятности гипотез равны:
PH1=PH2=PH3=PH4=PH5=15
Вероятность выхода из леса за 1 час для каждой из дорог равна соответственно:
PAH1=0,6; PAH2=0,3; PAH3=0,2; PAH4=0,1; PAH5=0,1
По формуле полной вероятности вероятность события A равна:
PA=i=15PAHiPHi=0,6∙15+0,3∙15+0,2∙15+0,1∙15+0,1∙15=0,26
По формуле Байесса вероятность того, что человек пошел по первой дороге, если в течение часа он вышел из леса, равна:
PH1A=PAH1PH1PA=0,6∙150,26≈0,462.
Вероятность, что человек пошел по первой дороге, если в течение часа он вышел из леса, равна 0,462.
6. Вероятность превысить заданную точность при измерении равна 0,4. Составить закон распределения случайной величины Х – число ошибок при 10 измерениях. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины.
Решение:
Случайная величина Х – число ошибок при 10 измерениях.
Составим закон распределения случайной величины Х.
По формуле Бернулли вероятность того, что при 10 измерениях будет Х ошибок, равна:
Pnk=Cnkpkqn-k,
где n=10; Cnk=n!k!n-k!; p=0,4 – вероятность ошибки в одном испытании; q=1-p=0,6.
P10k=10!k!10-k!∙0,4k∙0,610-k
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
p 0,0061 0,0403 0,1209 0,2150 0,2508 0,2007 0,1115 0,0425 0,0106 0,0015 0,0001
Математическое ожидание:
Mx=i=010xipi=
=0∙0,0061+1∙0,0403+2∙0,1209+3∙0,2150+4∙0,2508+5∙0,2007+
+6∙0,1115+7∙0,0425+8∙0,0106+9∙0,0015+10∙0,0001=4,0
Дисперсия:
Dx=i=010xi2pi-M2x=
=02∙0,0061+12∙0,0403+22∙0,1209+32∙0,2150+42∙0,2508+
+52∙0,2007+62∙0,1115+72∙0,0425+82∙0,0106+
+92∙0,0015+102∙0,0001-4,02=2,40
Среднеквадратическое отклонение:
σx=Dx=2,40=1,55
7. Случайная величина Х задана функцией распределения F(X). Найти плотность распределения, математическое ожидание, дисперсию, а также вероятность попадания случайной величины в интервал (α, β). Построить графики функций F(X) и f(X).
Fx=0, x≤03×2+2x, 0<x≤13 1, x>13 0,1;1
Решение:
Плотность распределения:
f(x)=dFdx=0, x≤06x+2, 0<x≤130, x>13
Математическое ожидание:
Mx=-∞∞xf(x)dx=6∙x33+2∙x22013=2∙133+132=527
Дисперсия:
Dx=-∞∞x2fxdx-M2x=
=-∞0x2∙0dx+013x26x+2dx+13∞x2∙0dx-5272=
=0136×3+2x2dx-25729=6∙x44+2∙x33013-25729=
=32∙134+23∙133-25729=7162-25729=131458
Вероятность попадания случайной величины в интервал (0,1; 1):
P0,1<x<1=0,11fxdx=0,1136x+2dx+1310dx=6∙x22+2×0,113=
=3∙132+2∙13-3∙0,12-2∙0,1=0,77
Построим графики функций F(X) и f(X).
График функций F(X).
График функций f(X).