Задание 5.1. Самостоятельно с использованием ЭВМ решить поставленные в примере 5.2 ЗЛП и найти оптимальные смешанные стратегии для игроков А и В.
Значение неизвестного параметра а взять равным номеру варианта. У меня вариант 1
Отчет должен содержать решения поставленных ЗЛП (значения переменных xi u yj , значения целевых функций), смешанные стратегии для обоих игроков и цену игры g.
Задание 5.2. Директор предприятия А заключает договор с конкурирующей фирмой В о реализации своей продукции на конкретной территории областного центра. Конкурирующие стороны выделили пять районов области. Каждая из них может развивать свое производство в этих пяти районах: A1, A2, A3, A4, A5 – для стороны А и B1, B2, B3, B4, B5 – для В. Вероятности успеха для стороны А приведены в платежной матрице:
AiBj
B1 B2 B3 B4 B5
A1 30 70 50 40 60
A2 90 20 10 30 30+а
A3 30+а 40 30 80 60
A4 50 40 30 60 90
A5 20 30 30+а 60 10

Определить оптимальные стратегии для каждой стороны.
Значение неизвестного параметра а взять равным номеру варианта.
Отчет должен содержать математические модели ЗЛП, составленные для игроков А и В, их решения, оптимальные смешанные стратегии для игроков А и В, цену игры g, выводы, в каких районах предприятие А должно реализовывать свою продукцию и в каких пропорциях, чтобы получить оптимальную прибыль вне зависимости от поведения конкурента В и чему равна эта прибыль.

Решение:
Рассмотрим задачу со стороны игрока А. Для ее решения нужно составить соответствующую задачу линейного программирования, то есть необходимо найти минимум функции
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 → min
30×1 + 90×2 + 50×3 + 50×4 + 20×5≥1
70×1 + 20×2 + 40×3 + 40×4 + 30×5≥1
50×1 + 10×2 + 30×3 + 30×4 + 31×5≥1
40×1 + 30×2 + 80×3 + 60×4 + 60×5≥1
60×1 + 31×2 + 60×3 + 90×4 + 10×5≥1
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0; x3 ≥ 0; x4 ≥ 0; x5 ≥ 0
Занесем данные в таблицу Excel (рис. 1)

Рис. 1 Исходные данные для решения задачи

После этого вызываем надстройку Данные/Поиск решения, в поле «Установить целевую ячейку» даем ссылку на В10. Ниже поставить переключатель на минимальное значение. Ставим курсор в поле «Изменяя ячейки», и даем ссылки на переменные, обводя мышью ячейки В9:F9.
Далее, переводим курсор в поле «Ограничения», и вводим ограничения. Для этого нажимаем на кнопку «Добавить» и в появившемся окне в поле «Ссылка на ячейку» даем ссылку на ячейки, содержащие левые части всех четырех ограничений, которые хранятся в ячейках В11:F11. В центральном поле выбираем знак неравенства – ограничения : «≥», в поле «Ограничение» вводим единицу. Нажимаем «ОК». Для ввода дополнительных ограничений x1≥0; x2≥0; x3≥0; x4≥0 нажимаем «Добавить», в поле «Ссылка на ячейку» ставим курсор и обводим ячейки В9:F9, выводим в центральное поле «≥», ограничение «0», нажимаем «ОК». Результат на рисунке 2.

Рис. 2 Окно «Поиск решения»

Далее нажимаем кнопку «Найти решение» и получаем результат (рис. 3).

Рис. 3 Окно решения задачи

Вводим в А13 подпись «Цена игры», а в соседнюю В13 формулу. Это средняя вероятность выигрыша для игрока А. Находим вероятности чистых стратегий в смешанной стратегии р. Формулы показаны на рисунке 4.

Рис. 4 Окно с формулами для расчета цены игры и вероятностей чистых стратегий

В результате получаем цену игры и вероятности чистых стратегий игрока А в смешанной стратегии р (рис. 5).

Рис. 5 Решение задачи для игрока А

Рассмотрим теперь решение относительно игрока В.
ЗЛП для игрока В имеет вид:
y1 + y2 + y3 + y4 + y5 → max
30y1 + 70y2 + 50y3 + 40y4 + 60y5≤1
90y1 + 20y2 + 10y3 + 30y4 + 31y5≤1
50y1 + 40y2 + 30y3 + 80y4 + 60y5≤1
50y1 + 40y2 + 30y3 + 60y4 + 90y5≤1
20y1 + 30y2 + 31y3 + 60y4 + 10y5≤1
y1 ≥ 0; y2 ≥ 0; y3 ≥ 0; y4 ≥ 0; y5 ≥ 0
Занесем данные в таблицу Excel (рис. 6)

Рис. 6 Исходные данные для решения задачи

После этого вызываем надстройку Данные/Поиск решения, в поле «Установить целевую ячейку» даем ссылку на В11. Ниже поставить переключатель на максимальное значение. Ставим курсор в поле «Изменяя ячейки», и даем ссылки на переменные, обводя мышью ячейки В10:F10.
Далее, переводим курсор в поле «Ограничения», и вводим ограничения. Для этого нажимаем на кнопку «Добавить» и в появившемся окне в поле «Ссылка на ячейку» даем ссылку на ячейки, содержащие левые части всех четырех ограничений, которые хранятся в ячейках В12: F 12. В центральном поле выбираем знак неравенства – ограничения : «≤», в поле «Ограничение» вводим единицу. Нажимаем «ОК». Для ввода дополнительных ограничений y1 ≥ 0; y2 ≥ 0; y3 ≥ 0; y4 ≥ 0; y5 ≥ 0 нажимаем «Добавить», в поле «Ссылка на ячейку» ставим курсор и обводим ячейки В10:F10, выводим в центральное поле «≥», ограничение «0», нажимаем «ОК». Результат на рисунке 7.

Рис. 7 Окно «Поиск решения»

Далее нажимаем кнопку «Найти решение» и получаем результат (рис. 8).

Рис. 8 Окно решения задачи

Вводим в А14 подпись «Цена игры», а в соседнюю В14 формулу. Это средняя вероятность выигрыша для игрока А. Находим вероятности чистых стратегий в смешанной стратегии q. Формулы показаны на рисунке 9.

Рис. 9 Окно с формулами для расчета цены игры и вероятностей чистых стратегий

В результате получаем цену игры и вероятности чистых стратегий игрока В в смешанной стратегии q (рис. 10).

Рис. 10 Решение задачи для игрока В

Ответ: цена игры (прибыль) g=41,429, оптимальные смешанные стратегии игрока А (0,71; 0,14; 0; 0,14; 0), игрока В (0,35; 0; 0,5; 0; 0,14; 0). Предприятие А должно реализовывать свою продукцию в районе А1, так как р1=0,71

Задание 5.3. Решить игру, описанную платежной матрицей для обоих игроков (матрица приведена для игрока А).
АiВj
В1
В2
В3 В4
В5
А1
9 1 6 3 5
А2
10 7 1 7 5
А3 5 8 12 1 1
А4
5 6 4 8 1

Значение неизвестного параметра а взять равным номеру варианта.
Отчет должен содержать математические модели ЗЛП, составленные для обоих игроков, полученные в результате решения на ЭВМ смешанные стратегии для обоих игроков и цену игры g.
Решение:
Рассмотрим задачу со стороны игрока А. Для ее решения нужно составить соответствующую задачу линейного программирования, то есть необходимо найти минимум функции
x1 + x2 + x3 + x4 → min
9×1 + 10×2 + 5×3 + 5×4≥1
x1 + 7×2 + 8×3 + 6×4≥1
6×1 + x2 + 12×3 + 4×4≥1
3×1 + 7×2 + x3 + 8×4≥1
5×1 + 5×2 + x3 + x4≥1
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0; x3 ≥ 0; x4 ≥ 0
Занесем данные в таблицу Excel (рис. 3)

Рис. 3 Исходные данные для решения задачи
После этого вызываем надстройку Данные/Поиск решения, в поле «Установить целевую ячейку» даем ссылку на В10. Ниже поставить переключатель на минимальное значение. Ставим курсор в поле «Изменяя ячейки», и даем ссылки на переменные, обводя мышью ячейки В8:Е8.
Далее, переводим курсор в поле «Ограничения», и вводим ограничения. Для этого нажимаем на кнопку «Добавить» и в появившемся окне в поле «Ссылка на ячейку» даем ссылку на ячейки, содержащие левые части всех четырех ограничений, которые хранятся в ячейках В11:F11. В центральном поле выбираем знак неравенства – ограничения : «≥», в поле «Ограничение» вводим единицу. Нажимаем «ОК». Для ввода дополнительных ограничений x1≥0; x2≥0; x3≥0; x4≥0 нажимаем «Добавить», в поле «Ссылка на ячейку» ставим курсор и обводим ячейки В8:Е8, выводим в центральное поле «≥», ограничение «0», нажимаем «ОК». Результат на рисунке 4.

Рис. 4 Окно «Поиск решения»

Далее нажимаем кнопку «Найти решение» и получаем результат (рис. 5).

Рис. 5 Окно решения задачи

Вводим в А13 подпись «Цена игры», а в соседнюю В13 формулу. Это средняя вероятность выигрыша для игрока А. Находим вероятности чистых стратегий в смешанной стратегии р. Формулы показаны на рисунке 6.

Рис. 6 Окно с формулами для расчета цены игры и вероятностей чистых стратегий

В результате получаем цену игры и вероятности чистых стратегий игрока А в смешанной стратегии р (рис. 7).

Рис. 6 Решение задачи для игрока А

Рассмотрим теперь решение относительно игрока В.
ЗЛП для игрока В имеет вид:
y1 + y2 + y3 + y4 + y5 → max
9y1 + y2 + 6y3 + 3y4 + 5y5≤1
10y1 + 7y2 + y3 + 7y4 + 5y5≤1
5y1 + 8y2 + 12y3 + y4 + y5≤1
5y1 + 6y2 + 4y3 + 8y4 + y5≤1
y1 ≥ 0; y2 ≥ 0; y3 ≥ 0; y4 ≥ 0; y5 ≥ 0
Занесем данные в таблицу Excel (рис. 7)

Рис. 7 Исходные данные для решения задачи

После этого вызываем надстройку Данные/Поиск решения, в поле «Установить целевую ячейку» даем ссылку на В10. Ниже поставить переключатель на максимальное значение. Ставим курсор в поле «Изменяя ячейки», и даем ссылки на переменные, обводя мышью ячейки В8:F8.
Далее, переводим курсор в поле «Ограничения», и вводим ограничения. Для этого нажимаем на кнопку «Добавить» и в появившемся окне в поле «Ссылка на ячейку» даем ссылку на ячейки, содержащие левые части всех четырех ограничений, которые хранятся в ячейках В11:Е11. В центральном поле выбираем знак неравенства – ограничения : «≤», в поле «Ограничение» вводим единицу. Нажимаем «ОК». Для ввода дополнительных ограничений y1 ≥ 0; y2 ≥ 0; y3 ≥ 0; y4 ≥ 0; y5 ≥ 0 нажимаем «Добавить», в поле «Ссылка на ячейку» ставим курсор и обводим ячейки В8:F8, выводим в центральное поле «≥», ограничение «0», нажимаем «ОК». Результат на рисунке 8.

Рис. 8 Окно «Поиск решения»

Далее нажимаем кнопку «Найти решение» и получаем результат (рис. 9).

Рис. 9 Окно решения задачи

Вводим в А13 подпись «Цена игры», а в соседнюю В13 формулу. Это средняя вероятность выигрыша для игрока А. Находим вероятности чистых стратегий в смешанной стратегии q. Формулы показаны на рисунке 10.

Рис. 10 Окно с формулами для расчета цены игры и вероятностей чистых стратегий

В результате получаем цену игры и вероятности чистых стратегий игрока В в смешанной стратегии q (рис. 11).

Рис. 11 Решение задачи для игрока В

Ответ: цена игры g=4,51, оптимальные смешанные стратегии игрока А (0,435; 0,443; 0,122; 0), игрока В (0; 0,17; 0,21; 0; 0,62)

Задание 5 1 Самостоятельно с использованием ЭВМ решить поставленные в примере 5