Вывод формул: — инвариант аббе
-формула тонкой линзы
-волнового уравнения
-разности хода волн в плоско-пареллельной пластинке
инвариант аббе
Рассмотрим простейший случай преломления света на одной сферической поверхности, разграничивающей однородные среды с показателями преломления N1 и N2. Пусть эта поверхность обладает симметрией вращения относительно одной из прямых OC, проходящей через центр кривизны сферической поверхности — главной Оптической осью.

Пусть точечный источник света S находится на оптической оси системы. Произвольный луч SA, падающий на сферическую поверхность под углом I1, после преломления на поверхности под углом I2 пройдет по пути AS1. Обозначим длины AS ИAS1 через A1 и А2 , соответственно.
Распишем площади полученных треугольников. Из рисунка видно, что
. Учитывая, что A1 < 0, a2 > 0 можно записать:  , ,
Где AC = R – радиус кривизны преломляющей поверхности. Он отсчитывается от сферической поверхности к ее центру и положителен в нашем случае. Подставляя выражения, в формулу, и заменив n1= sin I1 n2= sin I2..получим:
.(разделили полученное выражение на 1/2, а1 и a2)
Согласно формуле, положение точки S1 зависит от угла наклона  падающего луча к оптической оси, т. е. от угла падения I1 и преломления I2. Ограничимся малыми углами, I1, I2. Лучи, удовлетворяющие такому условию, называются Параксиальными (Приосевыми). Для них можно записать ; В этом приближении формула принимает вид:.
Формуле можно придать вид: 
Откуда следует, что произведение N(1/A – 1/R) при преломлении сохраняет свою величину. Его называют  инвариантом Аббе.
ФОРМУЛА ТОНКОЙ ЛИНЗЫ. УВЕЛИЧЕНИЕ ЛИНЗЫ
Выведем формулу, связывающую три величины: расстояние d от предмета до линзы, расстояние f от изображения до линзы и фокусное расстояние F.
Из подобия треугольников АОВ и A1B1O (см. рис.) следует равенство

Уравнение (8.10), как и (8.11), принято называть формулой тонкой линзы.
Волновое уравнение.

Итак, физические явления, происходящие в звуковой волне, обладают следующими тремя свойствами:I. Газ движется, и плотность его меняется.II. При изменении плотности меняется и давление.III. Неравномерное распределение давления вызывает движение газа.Рассмотрим сначала свойство II. Для любого газа, жидкости или твердого тела давление является функцией плотности. До прихода звуковой волны мы имели равновесное состояние с давлением Ро и плотностью ρ0. Давление Р зависит от плотности среды: Р=f(ρ), и в частности равновесное давление Р0=f(ρ0).
написав для звуковой волны

 
можно считать, что изменение давления Рu очень мало по сравнению с Ро, а изменение плотности ρu очень мало по сравнению с ρ0. Тогда

 
где Ро = f (ρ0)
Второе равенство здесь возможно только потому, что ρu очень мало. Таким образом, мы находим, что избыточное давление Рu пропорционально избыточной плотности ρu; коэффициент пропорциональности обозначается через μ:

 
Это весьма простое соотношение и составляет точное содержание свойства II.
Перейдем теперь к свойству I. Предположим, что положение элемента объема воздуха, не возмущенного звуковой волной, есть х, а звук смещает его в момент времени t на величину χ(х, t), так что его новое положение есть x+χ (х, t). положение соседнего элемента объема есть х+Δх, и его смещенное положение есть х + Δх + χ (х + Δх, t).найдем изменение плотности. Поскольку мы рассматриваем плоскую волну, удобно взять единичную площадку, перпендикулярную оси х, т. е. направлению распространения волны. Количество воздуха, приходящееся на единичную площадку в интервале Δх, есть ρ0Δх, где ρ0 —невозмущенная, или равновесная, плотность воздуха. Эта порция воздуха, смещенная звуковой волной, будет находиться теперь между x+χ (х, t) и х + Δх + χ (х + Δх, t), причем количество воздуха в этом интервале то же самое, что в интервале Δх до прихода волны. Если через ρ обозначить новую плотность, то

 
Δx мало, можно написать χ(х+Δх, t) — χ(x, t)  =(дχ/дх) Δх. 

 
в звуковой волне все изменения малы, так что ρu мало, χ мало и дχ/дх тоже мало. Поэтому в уравнении,

пренебрегаем   ρu(dy/dx)   по сравнению с   ρ0(dχ/dx).   Так мы  приходим     к    соотношению,      которое      требовалось согласно свойству I:

30099062230 
 
Теперь ищем третье уравнение — уравнение движения, производимого избытком давления. Возьмем объем воздуха толщиной Δх и с единичной площадью грани, перпендикулярной х, тогда масса воздуха в этом объеме есть ρ0Δх, а ускорение воздуха есть dχ/dt2, так что масса, умноженная на ускорение для этого слоя, есть ρ0Δх(д2χ/dt2).(Если Δх мало, то безразлично, где брать ускорение — на краю слоя или где-нибудь посредине.) Сила, действующая на единичную площадку нашего слоя, перпендикулярную оси х, должна быть равна ρ0Δх(д2χ/dt2). В точке х мы имеем силу Р(х, t),действующую на единицу площади в направлении +х, а в точке х+Δх возникает сила в обратном направлении, по величине равная Р(х+Δх, t):

 
Δх мало и только избыточное давление Рu меняется в зависимости от х. Итак, согласно свойству III мы получаем

 
Теперь уже уравнений достаточно, чтобы увязать все величины и привести к одной переменной, скажем х. Можно выразить Рuв

 
а затем исключить   рu   с  помощью   (I). Тогда ρ0 сократится и у нас  останется

 
Это и есть волновое уравнение, которое описывает распространение звука в среде.
Пример(немножко не так как обычно в книгах)

Разобьем на три отрезка.
 Смещения этих отрезков в некоторый произвольный момент времени равны  Ускорение центрального отрезка  Оно записано в виде второй частной производной функции  по времени. Учтем далее, что

 сила  является проекцией на направление смещения s силы  приложенной к центральному элементу справа (в точке ). Аналогично, слева (в точке ) проекция этой силы равна  Равнодействующая этих сил, очевидно, определяется приращением первой производной на длине бесконечно малого элемента :

Если теперь учесть, что  ( — плотность единицы длины, или линейная плотность), то получим волновое уравнение:

Интерференция света в тонких плоскопараллельных
пластинах
  Падающая волна частично отражается (∼5°) от верхней поверхности пластинки (луч 1), а частично преломляется (луч АО). Преломленная волна, достигнув нижней поверхности пластинки, также частично отражается (луч ОС), а частично преломляется (луч 2’). То же самое происходит на верхней поверхности пластинки в точке С с лучом ОС, причем преломленная волна (луч 2) накладывается на волну, непосредственно отраженную от верхней поверхности (луч 1). Эти две волны когерентны. Результат их интерференции зависит от величины Δ — оптической разности хода.
Разность хода, приобретаемая лучами 1 и 2 до того, как они сойдутся в т. С, равна

В геометрической оптике известен закон преломления:

Из тригонометрии

Тогда

 
При вычислении разности фаз Δφ между колебаниями в лучах 1 и 2 нужно, кроме оптической разности хода Δ учесть изменение фазы при отражении в т. А. Т.к. в т. А происходит отражение от границы раздела среды оптически менее плотной со средой оптически более плотной (n2 >n1, т.к. nст > 1), то фаза волны изменяется в т. А на π. В т. О отражение происходит от границы раздела среды, оптически более плотной со средой оптически менее плотной, поэтому изменения фазы в т. О не происходит.
 Таким образом, изменение фазы в т. А можно учесть, добавив к Δ (или вычтя из нее) половину длины волны в вакууме – λ/2. Тогда окончательно
 — Оптическая разность хода для интерференции отраженных лучей 1 и 2.
— Оптическая разность хода для интерференции проходящих лучей 1’ и 2’.

Вывод формул — инвариант аббе -формула тонкой линзы -волнового уравнения -разности хода волн в плоско-пареллельной пластинке инвариант аббе Рассмо