Владелец небольшого магазина в начале каждого рабочего дня закупает для реализации некий скоропортящийся продукт по цене 40 рублей за единицу. Цена реализации этого продукта — 60 рублей за единицу. Из наблюдений известно, что спрос на этот продукт за день может быть равен 1, 2, 3 или 4 единицы. Если продукт за день не продан, то в конце дня его всегда покупают по цене 20 рублей за единицу.

Таблица 3 – Исходные данные
Возможные исходы 1 2 3 4
Частота 15 50 20 15

Пользуясь правилами максимакса, максимина, минимакса. максимальной вероятности, критерием Гурвица и максимизируя ожидаемый доход, определить, сколько единиц этого продукта должен закупать владелец каждый день. Чему равна ожидаемая стоимость полной информации. Каждое из решений должно сопровождаться развернутым ответом.

Решение:

Решение 1. Метод максимаксного и максиминного решений.

Максимаксное решение – это максимизация максимума возможных доходов.
Максиминное решение – это максимизация минимума возможных доходов.

Составим таблицу возможных доходов за день.

Таблица 4 – Возможные доходы за день
Возможные исходы:
Спрос в день Возможные решения:
Число закупленных для реализации единиц

1 2 3 4
1 20 0 -20 -40
2 20 40 20 0
3 20 40 60 40
4 20 40 60 80
максимакс 20 40 60 80
максимин 20 0 -20 -40

Таблица заполняется следующим образом:

Каждая реализованная в течение дня единица приносит доход 60 (цена реализации) – 40 (цена закупа) = 20 рублей, а каждая реализованная в конце дня единица приносит 20 (цена реализации) – 40 (цена закупа) = -20 рублей (убыток).
В клетке (1,1) для реализации была закуплена 1 единица продукта, спрос был 1 единица. Поэтому возможный доход для этой клетки:
60 (реализация одной единицы) – 40 (закуп одной единицы) = 20 рублей
В клетках (2,1); (3,1) и (4,1) возможные доходы также будут равны 20 рублей, т.к. в не зависимости от того, сколько единиц спросили, закуплена лишь одна единица, которая будет продана и принесет доход, в размере 20 руб.
В клетке (1,2) для реализации было закуплено 2 единицы, спрос был только на одну единицу, это значит, что 1 единица продана за 60 рублей, а вторая в конце дня за 20 рублей. Поэтому возможный доход для этой клетки:
60 (реализация одной единицы) + 20 (реализация второй единицы в конце дня) – 40*2 (предварительная закупка двух единиц) = 0 рублей
В клетке (2,2) для реализации было закуплено 2 единицы, спрос был также на 2 единицы. Следовательно, возможный доход для этой клетки составляет:
2*60 (реализация двух единиц) – 2*40 (закупка этих двух единиц) = 40 рублей.
Возможные доходы в клетках (3,2) и (4,2) также будут равны 40 рублей, потому что даже если спрашивали 3 или 4 единицы, в наличие было только 2, которые и были проданы.
В клетке (1,3) для реализации было закуплено 3 единицы, спросили только 1, оставшиеся две в конце дня были проданы за 20 рублей каждая. Следовательно, возможный доход для клетки:
60 (реализация одной единицы) + 2*20 (реализация двух единиц в конце дня) – 40*3 (предварительная закупка трех единиц) = -20 рублей (убыток 20 рублей)
В клетке (2,3) закуплено 3 единицы продукта, спрос был на две единицы, следовательно, одна единица была продана в конце дня за 20 рублей. Значит, возможный доход данной клетки равен:
2*60 (реализация двух единиц) + 20 (реализация одной единицы в конце дня) – 3*40 (предварительный закуп 3 единиц) = 20 рублей.
В клетке (3,3) было закуплено 3 единицы, спрос равен также трем единицам. Поэтому возможный доход для этой клетки равен:
3*60 (реализация трех единиц) – 3*40 (предварительный закуп этих трех единиц) = 60 рублей.
В клетке (4,3) возможный доход составляет также 60 рублей, несмотря на то, что спрос был на 4 единицы, закуплено лишь 3.
В клетке (1,4) для реализации было закуплено 4 единицы, спрос был только на 1 единицу, оставшиеся 3 единицы были проданы в конце дня за 20 рублей каждая. Поэтому, возможный доход для этой клетки составляет:
60 (реализация одной единицы) + 3*20 (реализация трех единиц в конце дня) – 40*4 (предварительная закупка четырех единиц) = -40 рублей (убыток 40 рублей)
В клетке (2,4) для реализации было закуплено 4 единицы, спрос был на 2, оставшиеся 2 единицы были проданы за 20 рублей в конце дня каждая. Следовательно, возможный доход для этой клетки:
2*60 (реализация двух единиц, на которые был спрос) + 2*20 (реализация оставшихся двух единиц, проданных в конце дня) – 4*40 (предварительный закуп 4 единиц) = 0 рублей.
В клетке (3,4) для реализации закуплено 4 единицы, спросили 3 единицы, оставшаяся в конце дня единица, была продана за 20 рублей, из этого следует, что возможный доход для клетки равен:
3*60 (реализация 3 единиц, на которые был спрос) + 20 рублей (реализованная в конце дня единица) – 4*40 (закуп 4 единиц) = 40 рублей.
И, наконец, в клетке (4,4) было закуплено 4 единицы, спрос был тоже на 4 единицы, рассчитаем возможный доход для этой клетки:
4*60 (реализация 4 единиц) – 4*40 (предварительный закуп) = 80 рублей.
После того, как полученные после расчетов результаты занесены в таблицу возможных доходов, в каждом столбце (то есть для каждого возможного решения) находим максимальное число. Для первого столбца – это 20 рублей, для второго – 40 рублей, для третьего столбца – 60 рублей, и, наконец, для четвертого максимальное число составляет 80 рублей. Запишем эти числа в строке «максимакс» в столбах соответственно и найдем среди них максимальное. Это 80, что соответствует решению о закупке для реализации 4 единиц в день. Это подход очень азартного человека.
Далее, в каждом столбце (для каждого возможного решения) находим минимальное число. Это числа 20, 0, -20, -40, соответственно. Запишем их в строке максимин и найдем среди них максимальное. Это 20, что соответствует решению о закупке для реализации 1 единицы в день. Это – подход очень осторожного человека.
Ответ. Руководствуясь правилом максимакса, владелец магазина каждый день должен закупать 4 единицы, это подход азартного человека. Руководствуясь правилом максимина, владелец должен закупать для реализации 1 единицу в день, что свойственно для очень осторожного человека.

Решение 2. Правило минимаксного решения.
Теперь решим эту задачу, пользуясь правилом минимаксного решения. Минимаксное решение – это минимизация максимуса возможных потерь, причем упущенная выгода также трактуется в качестве потери.
Составим таблицу возможных потерь:

Таблица 5 – Возможные потери
Возможные исходы:
Спрос в день Возможные решения:
Число закупленных для реализации единиц

1 2 3 4
1 0 20 40 60
2 20 0 20 40
3 40 20 0 20
4 60 40 20 0
минимакс 60 40 40 60

В клетках (1,1), (2,2), (3,3), (4,4) число закупленных для реализации единиц равно спросу за день. Поэтому, возможные потери для данных клеток равны 0.
В клетке (1,2) одна закупленная единица из двух, на которую был спрос, продана за 60 рублей, вторая единица не реализована в течение дня, в конце дня ее купят лишь за 20 рублей. Она принесет убыток 1*(40-20) = 20 рублей, где 40 – закуп одной единицы, 20 – реализация единицы в конце дня. Это есть возможные потери для данной клетки.
В клетке (1,3) одна закупленная единица из трех, на которую был спрос, продана за 60 рублей, остальные две не реализованы в течение дня. Следовательно, возможные потери для данной клетки: 2*(40-20) = 40 рублей.
В клетке (1,4) одна закупленная единица из четырех продана за 60 рублей, остальные три, на которые не было спроса в течение дня, принесут убытки: 3*(40-20) = 60 рублей.
В клетке (2,1) закупленная для реализации единица продана, но спрос был на 2 единицы, то есть могли бы продать еще 1 единицу и заработать на ее продаже 1*(60-40) = 20 рублей. Следовательно, возможные потери для данной клетки составляю 20 рублей.
В клетке (3,1) закупленная для реализации единица продана, но могло быть продано еще 2, так как спрос был 3 единицы. Следовательно, возможные потери: 2*(60-40) = 40 рублей.
В клетке (4,1) закупленная для реализации единица, продана, спрос равен 4 единицы, то есть могло быть продано еще три единицы, они то и принесут возможные потери в размере 60 рублей: 3*(60-40) = 60 рублей.
В клетке (3,2) две закупленные для реализации единицы проданы, спрос равен 3 единицы, то есть могли продать еще 1 единицу, поэтому возможные потери для этой клетки: 1*(60-40) = 20 рублей.
В клетке (4,2) две закупленные для реализации единицы проданы, спрос равен 4 единицы, следовательно, могли продать еще 2 единицы. Поэтому, возможные потери для данной клетки: 2*(60-40) = 40 рублей.
В клетке (2,3) две закупленные единицы из трех были реализованы, одна реализована в конце дня за 20 рублей. Следовательно, возможные потери для этой клетки составляют: 1*(60-40) = 20 рублей.
В клетке (4,3) три закупленные единицы были проданы, но спрос был на 4 единицы, следовательно, могла быть продана еще одна единицы, она и составляет возможные потери, которые равны: 1*(60-40) = 20 рублей.
В клетке (2,4) две закупленные единицы продукта из четырех были проданы по цене 60 рублей, оставшиеся две не реализованы в течение дня, они и принесут возможные потери: 2*(40-20) = 40 рублей.
И, наконец, в клетке (3,4) таблицы возможных потерь, три из четырех закупленных единиц реализованы, но спрос был только на 3 единицы, следовательно, оставшаяся единица была продана в конце продана за 20 рублей, она и приносит возможные потери в размере 20 рублей: 1*(40-20) = 20 рублей.
В каждом столбце (то есть для каждого возможного решения) находим максимальное значение. Это числа 60, 40, 40, 60 соответственно. Запишем эти числа в строке «минимакс» и найдем среди них минимальное. Это 40 рублей, что соответствует решению о закупке 2 или 3 единиц.
Ответ. Руководствуясь правилом минимаксного решения, владелец магазина должен закупать 2 или 3 единицы каждый день, для того, чтобы нести минимальные потери.

Решение 3. Критерий Гурвица.
Критерий Гурвица – это компромиссный способ принятия решений. Составляется таблица возможных доходов, задаются числа a и b, называемые весами, при а 0; b 0; a+b=1.
Для каждого решения определяется наименьший и наибольший возможныедоходы и вычисляется целевая функция по правилам:
(а*наименьший доход)
(b*наибольший доход)
Выбираются решения, при которых целевая функция принимает наибольшее значение. Значения a и b исследователь выбирает самостоятельно.
Зададим a=0,5 и b=0,5. Из таблицы возможных доходов для каждого решения находим наименьший и наибольший возможные доходы (это числа в строках «минимакс» и «максимин»). Заполним таблицу:

Таблица 6
Возможные
решения Наибольший
доход Наимень-ший
доход a*(наимень-ший
доход) b*(наиболь-ший
доход) Сумма
1 20 -40 -20 10 -10
2 40 0 0 20 20
3 60 20 10 30 40
4 80 20 10 40 50

Числа во втором и третьем столбцах взяты из таблицы возможных доходов. Числа 3-го столбца умножаем на а=0,5 и результат пишем в 4*м столбце:
-40*0,5 = -20
0*0,5 = 0
20*0,5 = 10
20*0,5 = 10
Числа второго столбца умножаем на b=0,5 и результат запишем 5-м столбце:
20*0,5 = 10
40*0,5 = 20
60*0,5 = 30
80*0,5 = 40
В шестом столбце находится сумма соответствующих элементов 4-го и 5-го столбцов:
1) -20+10 = -10
2) 0+20 = 20
3) 10+30 = 40
4) 10+40 = 50
Находим максимум в 6-м столбце (это 50). Он соответствует возможному решению о закупке для реализации 4 единиц.
В методе Гурвица, вместо таблицы возможных доходов, можно использовать таблицу возможных потерь. В этом случае, нужно найти минимум целевой функции (a*наименьшие потри)+(b*наибольшие потери) по всем возможным решениям.
Из таблицы Возможных потерь видно, что наибольшие потери («минимакс») – это 60, 40, 40, 60, наименьшие потери для каждого возможного решения равны 0.
Заполним таблицу:

Таблица 7
Возможные решения Наибольшие потери Наименьшие потери a*наименьшие потери b*наибольшие потри Сумма
1 60 0 0 30 30
2 40 0 0 20 20
3 40 0 0 30 30
4 60 0 0 45 45

Числа 2-го и 3-го столбца взяты из таблиц возможных потерь. Очевидно, что каждая клетка в 4-м столбцу будет принимать нулевое значение, так как 0*0,5 = 0.
Для заполнения 5-го столбца необходимо числа второго столбца умножить на b=0,5:
60*0,5 = 30
40*0,5 = 20
40*0,5 = 20
60*0,5 = 30
В 6-м столбце данной таблицы находится сумма элементов 4-го и 5-го столбца соответственно:
1) 0+30 = 30
2) 0+20 = 20
3) 0+20 = 20
4) 0+30 = 30

Находим минимум в 6-м столбце. Он соответствует решению о закупке 2х ил 3х единиц для реализации.
Ответ. Руководствуясь критерием Гурвица, при анализе таблицы возможных доходов, владелец магазина должен принять решение о закупке 4 единиц продукта в день, а при анализе таблицы возможных потерь, должно быть принято решение о закупе 2-х или 3-х единиц в день. Эти решения характерны для весов a=0,5 и b=0,5. Очевидно, что для других весов, результаты будут иными.

Решение 4. Формула математического ожидания.
В условиях задачи, помимо цены закупки единицы (40 рублей), цены реализации (60 рублей) и цены реализации непроданной единицы в течение дня (20 рублей), даны частоты:

Таблица 8
Возможные исходы 1 2 3 4
частота 15 50 20 15

Для решения задачи, добавим в таблицу значения вероятности. Очевидно, что при частоте 15, вероятность равно 0,15, при 50 – 0,50 и при частоте 20, вероятность будет равна 0,20.

Таблица 9
Возможные исходы 1 2 3 4
частота 15 50 20 15
вероятность 0,15 0,50 0,20 0,15

Воспользуемся таблицей возможных доходов. Зная вероятности и величины доходов, можно определить математическое ожидание, то есть ожидаемый доход.
Для каждого возможного решения составим таблицу.
Возможное решение 1 (соответствует закупке 1-й единицы продукта):

Таблица 10
хi рi хi рi
20 0,15 20*0,15 = 3
20 0,50 20*0,50 = 10
20 0,20 20*0,20 = 4
20 0,15 20*0,15 = 3
сумма 1,00 20

Значение в столбце хi соответствует значению 2-го столбца таблицы возможных доходов.
Возможное решение 2 (соответствует закупке 2-х единиц продукта):

Таблица 11
хi рi хi рi
0 0,15 0
40 0,50 40*0,50 = 20
40 0,20 40*0,20 = 8
40 0,15 40*0,15 = 6
сумма 1,00 34

Значение в столбце хi соответствует значению 3-го столбца таблицы возможных доходов.
Возможное решение 3 (соответствует закупке 3-х единиц):

Таблица 12
хi рi хi рi
-20 0,15 -20*0,15 = -3
20 0,50 20*0,50 = 10
60 0,20 60*0,20 = 12
60 0,15 60*0,15 = 9
сумма 1,00 28

Значение в столбце хi соответствует значению 4-го столбца таблицы возможных доходов.
Возможное решение 4 (соответствует решению о закупке 4-х единиц):
Таблица 13
хi рi хi рi
-40 0,15 -40*0,15 = -6
0 0,50 0
40 0,20 40*0,20 = 8
80 0,15 80*0,15 = 12
сумма 1,00 14

Значение в столбце хi соответствует значению 5-го столбца таблицы возможных доходов.
Выбираем максимальное число среди итоговых (20; 34; 28; 14). Очевидно, что это число 34, которое соответствует решению о закупе 2-х единиц. Следовательно, для максимизации дохода, владелец магазина должен принять решение о закупке 2-х единиц продукта.
При использовании формулы математического ожидания или среднего ожидаемого дохода, можно аналогично минимизировать ожидаемые потери.
Теперь, для каждого возможного решения составим таблицу, пользуясь формулой и таблицей возможных потерь.
Возможное решение 1 (соответствует закупке 1-й единицы):

Таблица 14
хi рi хi рi
0 0,15 0*0,15 = 0
20 0,50 20*0,50 = 10
40 0,20 40*0,20 = 8
60 0,15 60*0,15 = 9
сумма 1,00 27

Данные столбца хi соответствуют значениям 2-го столбца таблицы возможных потерь.
Возможное решение 2 (соответствует закупке 2-х единиц):

Таблица 15
хi рi хi рi
20 0,15 20*0,15 = 3
0 0,50 0*0,50 = 0
20 0,20 20*0,20 = 4
40 0,15 40*0,15 = 6
сумма 1,00 13

Данные столбца хi соответствуют значениям 3-го столбца таблицы возможных потерь.
Возможное решение 3 (соответствует закупке 3-х единиц):

Таблица 16
хi рi хi рi
40 0,15 40*0,15 = 6
20 0,50 20*0,50 = 10
0 0,20 0*0,20 = 0
20 0,15 20*0,25 = 5
сумма 1,00 21

Данные столбца хi соответствуют значениям 4-го столбца таблицы возможных потерь.
Возможное решение 4 (соответствует закупке 4-х единиц):

Таблица 17
хi рi хi рi
60 0,15 60*0,15 = 9
40 0,50 40*0,50 = 20
20 0,20 20*0,20 = 4
0 0,15 0*0,15 = 0
сумма 1,00 33

Данные столбца хi соответствуют значениям 5-го столбца таблицы возможных потерь.
Из итоговых чисел выбираем минимальное (27; 13; 21; 33), что соответствует решению о закупке 2-х единиц продукта в день, при этом убыток будет минимальным и составит 13 рублей.

Ответ. С учетом частоты спроса и закупок, для того, чтобы максимизировать прибыль и минимизировать убытки, владелец магазина должен принять решение о закупке не более 2-х единиц продукта в день.

Список литературы

Ковалев В.В. Финансовый менеджмент.- М.: Проспект, 2010. – 480 с.
Любушин Н. П., Бабичева Н. Э. Финансовый анализ. – М.: Эксмо, 2010. – 336 с.
Просветов Г. И. Управленческий учет: задачи и решения. – М.: Издательство РДЛ, 2006. – 272 с.

Владелец небольшого магазина в начале каждого рабочего дня закупает для реализации некий скоропортящийся продукт по цене 40 рублей за единицу