Вариант 3
На конвейер поступают однотипные изделия, изготовленные двумя рабочими. При этом первый поставляет 60%, а второй 40% общего числа изделий. Вероятность того, что изделие, изготовленное первым рабочим, окажется нестандартным, равна 0,002, вторым – 0,01. Взятое наудачу с конвейера изделие оказалось нестандартным. Определить вероятность того, что оно изготовлено: а) первым рабочим; б) вторым рабочим.
Решение
Пусть событие А – взятое наудачу с конвейера изделие оказалось нестандартным, гипотезы Н1 и Н2– изделие изготовлено первым и вторым рабочим соответственно.
Из условия задачи находим:
PH1=0,6; PH2=0,4
P(AH1)=0,002; P(AH2)=0,01
Тогда вероятность выбора нестандартного изделия составит:
PA=PH1P(AH1)+PH2P(AH2)
Подставим исходные данные и получим:
PA=0,6∙0,002+0,4∙0,01=0,0012+0,004=0,0052
а) Вероятность того, что нестандартное изделие было изготовлено первым рабочим, равна:
PH1A =PH1P(AH1)PA=0,6∙0,0020,0052≈0,231
б) Вероятность того, что нестандартное изделие было изготовлено вторым рабочим:
PH2A =PH2P(AH2)PA=0,4∙0,010,0052≈0,769
Ответ: вероятность того, что выбранная наугад нестандартная деталь изготовлена первым рабочим, равна 0,231 (23,1%), вторым рабочим – 0,769 (76,9%).
По каналу связи передается 1000 знаков. Каждый знак может быть искажен независимо от остальных с вероятностью 0,005. Найти вероятность того, что искажено не более 3-х знаков.
Решение
Условие «не более 3-х» означает 0, 1, 2 или 3 знака.
Найдем вероятности искажения по формуле Пуассона:
Pm=λmm!∙e-λ λ=np=1000∙0,005=5
P0=501!∙e-5=e-5=0,00674
P1=511!∙e-5 =5∙e-5=0,0337
P2=522!∙e-5 =252∙e-5=0,08425
P3=533!∙e-5 =1256∙e-5=0,14
Pm≤3=Pi=0,00674+0,0337+0,08425+0,14=0,2647
Ответ: вероятность того, что искажено не более 3-х знаков равна 0,2647 (26,47%).

В автобусе 4 пассажира. Считается, что каждый из пассажиров с равной вероятностью может сойти на любой из оставшихся трех остановок. Пусть Х означает число пассажиров, сошедших на первой остановке. Написать закон распределения для случайной величины Х и найти ее математическое ожидание.
Решение
Так как каждый пассажир может выйти на любой из оставшихся остановок, то есть для каждого пассажира количество вариантов для выхода составит 3 остановки.
Общее количество возможных исходов равно:
n=34=81
Вероятности событий вычисляем по формуле Бернулли:
РА=Cnm∙pm∙qn-m
а) никто не вышел на первой остановке:
Р0=C40∙p0∙q4-0=234=1681
б) 1 пассажир вышел на первой остановке
Р1=C41∙p1∙q3=4∙13∙233=3281
в) 2 пассажира вышли на первой остановке
Р2=C42∙p2∙q2=6∙(13)2∙232=2481
г) 3 пассажира вышли на первой остановке
Р3=C43∙p3∙q1=4∙(13)3∙231=881
д) 4 пассажира вышли на первой остановке
Р4=C44∙p4∙q0=1∙(13)4∙230=181
Закон распределения будет иметь вид:
Х 0 1 2 3 4
Р
1681
3281
2481
881
181
События А и В составляют полную группу, то есть сумма их вероятностей равна 1. Проверим:
РА=1681+3281+2481+881+181=8181=1
Математическое ожидание рассчитаем так:
MO=Xi∙Pi=0∙1681+1∙3281+2∙2481+3∙881+4∙181==32+48+24+481=10881≈1,33

Из урны, в которой находится 10 шаров, 3 из которых белые, извлекают два шара. Какова вероятность, что оба они окажутся белыми?
Решение
Количество способов выбора из всех шаров любых 2-х: C102
Количество способов выбора из 3-х белых 2-х белых: C32
Вероятность выбора выигрышного билета составит:
P=C32C102=345=0,067
Ответ: вероятность того, что выбранные шара будут оба белыми составляет 0,067 (6,7%).

Какова вероятность, что средняя масса 5 наудачу взятых пакетов с расфасованным товаром будет отклоняться от нормы не более чем на 2 грамма, если средняя масса одного пакета 1 кг., а среднее отклонение 1,5 грамма. Распределение массы пакетов считать нормальным со средним значением 1кг и средним отклонением 1,5 грамма.
Решение
Для определения вероятности используем формулу Лапласа:
Pα<X<β=φβ-aσ-φα-aσ
Pα<X<β=2φ21,5
2φ1,33=0,81648
Pα<X<β=0,40824
Ответ: вероятность того, что отклонение составит 2 гр., составляет 40,824%.

6. Дана выборка значений, полученных при наблюдении за нормально распределенной случайной величины Х, объема n= 24.
59,0 61,7 65,8 67,7 70,8 73,8 76,2 83,1 84,0 74,5 65,0 79,6
60,0 61,8 65,9 67,8 70,9 73,9 76,3 83,4 84,3 74,6 68,0 79,8
Построить полигон частот, гистограмму, эмпирическую функцию распределения. Найти оценки математического ожидания, дисперсии и среднего квадратичного отклонения исследуемой случайной величины. Задаваясь доверительной вероятностью γ = 0,99, найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии.
Решение
Для построения полигона частот, гистограммы и эмпирической функции необходимо провести группировку данных на несколько групп с равными интервалами. Для удобства количество групп примем равным 5.
Ширина интервала составит:
h=xmax-xmin5=84,3-595=5,06
Группировка будет иметь вид:
Интервал 59-64,06 64,06 – 69,12 69,12- 74,18 74,18- 79,24 79,24 — 84,3
Середина 61,53 66,59 71,65 76,71 81,77
Частота 4 6 4 4 6
Если полигон строят по данным интервального ряда, то в качестве абсцисс точек берут середины соответствующих интервалов.

Гистограмма относительных частот представляется в виде примыкающих друг к другу прямоугольников с основаниями, равными интервалу между значениями:

Составим функцию распределения F(Z) случайной величины Z:
Если z≤59, то FZ=PZ<z=0
Если 59<z≤64,06, то FZ=PZ<z=PZ<64,06=424=0,17
Если 64,06<z≤69,12, то FZ=PZ<z=PZ<69,12=1024=0,42
Если 69,12<z≤74,18, то FZ=PZ<z=PZ<74,18=1424=0,58
Если 74,18<z≤79,24, то FZ=PZ<z=PZ<79,2=1824=0,75
Если 79,24<z≤84,3, то FZ=PZ<z=PZ<84,3=2424=1
Функция F(Z) будет иметь вид:
FZ=0, z≤590,17, 59<z≤64,060,42, 64,06<z≤69,120,58, 69,12<z≤74,180,75, 74,18<z≤79,241, 79,24<z≤84,3
Оценкой математического ожидания случайной величины X служит выборочное среднее:
MX=x=xin=1727,924≈72
Оценкой дисперсии случайной величины X служат выборочная дисперсия и модифицированная выборочная дисперсия, вычисляемые по формулам:
D=xi2n-x2=125827,224-722=5242,8-5184=58,8
Оценка среднеквадратического отклонения представляет собой корень из дисперсии:
σ=D=58,8=7,67
Это значит, что значения выборки отличаются от среднего значения не более чем на 7,67.
Доверительным интервалом для параметра при вероятности γ называется интервал, за пределы которого не выходит заданное значение.
Для определения доверительного интервала воспользуемся формулой:
x-tтабл.∙σn; x+tтабл.∙σn
Поскольку объем выборки не превышает 30, то значение tтабл. определим по таблице Стьюдента: tтабл.(n-1; /2)= tтабл.(23; 0,005)=3,77
72-3,77∙7,6724; 72+3,77∙7,6724=72-5,9; 72+5,9=(66,1;77,9)
Определим интервалы для дисперсии аналогичным способом:
58,8-3,77∙7,6724; 58,8+3,77∙7,6724=58,8-5,9; 58,8+5,9==(52,9;64,7)
С вероятностью 0,99 можно утверждать, что математическое ожидание будет находиться в пределах от 66,1 до 77,9, а дисперсия – от 52,9 до 64,7.

Вариант 5

Два игрока подбрасывают монету – первый 3 раза, а второй – 2 раза. Определить вероятность того, что число орлов у первого игрока больше, чем у второго.
Решение
Возможные исходы у первого игрока:
ООО – три орла
ОРО – два орла, одна решка
ОРР – 1 орел, две решки
РРР – три решки
Исходы второго игрока:
ОО – два орла;
ОР – один орел, одна решка
РР – две решки
Вероятность выпадания орла в каждом броске составляет ½, также как и решки.
Рассчитаем вероятности каждого исхода:
РООО=12∙12∙12=18; РОРО=12∙12=14
РОРР=12; РРРР=12∙12∙12=18
Для второго игрока:
РОО=12∙12=14; РОР=12; РРР=12∙12=14
Условию, что число орлов у первого игрока больше, чем у второго, удовлетворяют следующие пары исходов:
1. ООО – ОО, ОР, РР
2. ОРО – ОР, РР
3. ОРР – РР
Таким образом:
Р1=РООО∙РОО∙РОР∙РРР=18∙14∙12∙14=1256
Р2=РОРО∙РОР∙РРР=14∙12∙14=132
Р3=РОРР∙РРР=12∙14=18
Вероятность выигрыша равна:
РА=Рі=1256+132+18=72256=0,28
Ответ: вероятность того, что у первого игрока выпадет больше орлов, составляет 28%.

2. Вероятность рождения мальчика равна . Рассматривая данную ситуацию как независимые испытания с одинаковыми вероятностями, вычислить вероятности следующих событий:
А) среди 100 новорожденных ровно 50 мальчиков;
В) среди 100 новорожденных будет больше мальчиков, чем девочек, т.е. число мальчиков 51.
Решение
А) Так как число испытаний велико и вероятность наступления события А постоянна то воспользуемся приближенной формулой, которая выражает суть локальной теоремы Лапласа:
Pnm≈1n∙p∙q∙φx
x=m-n∙pn∙p∙q; φx=12πe-x22
По условию задачи число испытаний n = 100, m = 50, p = 0,512, q = 1-p.
x=m-n∙pn∙p∙q=50-100∙0,512100∙0,512∙0,488=-1,25=-0,24
По таблице Лапласа найдем значение функции:
φx=12πe-x22=φ-0,24=φ0,24=0,3876
Pnm≈1n∙p∙q∙φx=1100∙0,512∙0,488∙0,3876=0,078
Б) Если вероятность наступления события А в каждом из n независимых испытаний постоянна и равна Р (Р отлична от нуля и единицы), а число n достаточно велико, то вероятность того, что событие А в таких испытаниях наступит не менее t1 раз и не более t2 раз, вычисляется приближенно по формуле:
Pnm1<m<m2≈φ(β)-φ(α)
α=m1-n∙pn∙p∙q=51-100∙0,512100∙0,512∙0,488=-0,25=-0,04
β=m2-n∙pn∙p∙q=100-100∙0,512100∙0,512∙0,488=48,85=31,232
По таблице находим:
φ-0,04=-φ0,04=-0,016
φ31,232=0,5
Pnm1<m<m2=φβ-φα=0,5+0,016=0,516
Ответ: вероятность того, что из 100 детей будет ровно 50 мальчиков составляет 0,078 (7,8%). Вероятность того, что мальчиков будет больше 50, составляет 0,516 (51,6%).

3. В урне находятся карточки с номерами 1, 2, 3, 4, 5, внешне неразличимые. Производится выбор без возвращения до появления номера 5. Пусть число выбранных карточек. Найти распределение случайной величины , ее математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
Решение
Последовательно выбираем карточки. Вероятность, что карточка с номером 5 будет выбрана первой, равна 0,2.
Рассчитаем вероятности выбора карточек с номерами:
P1=0,2
P2=0,8∙0,2=0,16
P3=0,8∙0,8∙0,2=0,128
P4=0,8∙0,8∙0,8∙0,2=0,1024
P5=0,8∙0,8∙0,8∙0,8=0,4096
Ряд распределения будет иметь следующий вид:
Х 1 2 3 4 5
Р
0,2 0,16 0,128 0,1024 0,4096
Найдем числовые характеристики случайной величины X .
Математическое ожидание:
MX=Xi∙Pi=1∙0,2+2∙0,16+3∙0,128+4∙0,1024+5∙0,4096=3,3616
Дисперсия:
DX=Xi2∙Pi-(MX)2=
=1∙0,2+4∙0,16+9∙0,128+16∙0,1024+25∙0,4096-3,36162=2,57
Среднее квадратическое отклонение:
σ=DX=2,57≈1,6

4. В страховой компании застраховано 40%, 50% и 10% страхователей трех групп. Вероятности наступления страхового случая у страхователей этих групп соответственно равны 0,3; 0,1 и 0,2.У страхователя наступил страховой случай. К какой из групп он вероятнее всего относится?
Решение
Введем полную группу гипотез:
H1 = (страхователь относится к первой группе);
H2 = (страхователь относится ко второй группе);
H3 = (страхователь относится к третьей группе).
По условию:
Р(H1) = 0,4; Р(H2) = 0,5; Р(H3) = 0,1
Введем событие A = (наступил страховой случай). Выпишем условные вероятности:
PAH1=0,3; PAH2=0,1; PAH3=0,2
Найдем сначала вероятность события A по формуле полной вероятности:
PA=PAHi∙PHi=0,4∙0,3+0,5∙0,1+0,1∙0,2=0,19
Для того, чтобы определить к какой из групп вероятнее всего относился страхователь, найдем вероятности по формуле Байеса:
PHiA=PAHi∙PHiPA
Подставим данные и получим:
PH1A=PAH1∙PH1PA=0,4∙0,30,19=0,632
PH2A=PAH2∙PH2PA=0,5∙0,10,19=0,263
PH3A=PAH3∙PH3PA=0,1∙0,20,19=0,105
Ответ: вероятнее всего страхователь входил в первую группу – вероятность данного события равна 63,2%.

5. Размер детали, выпускаемой цехом, есть нормально распределенная случайная величина со средним значением 0,55 см и дисперсией 0,01 см2. Определить максимально допустимое отклонение от среднего значения, которое не будет превзойдено при контроле детали с вероятностью 0,92.
Решение
Максимально допустимое отклонение рассчитаем исходя из формулы Муавра-Лапласа:
Pα<X<β=φβ-aσ-φα-aσ
По условию: P = 0,92; a = 0,55; D = 0,01
Pα<X<β=φβ-0,550,01-φα-0,550,01=2φβ-0,550,01=0,92
φβ-0,550,01=0,46 → β-0,550,01≈0,61
β-0,55=0,061
Ответ: максимально допустимое отклонение составит 0,061 см., то есть размер детали заключается в интервале от 0,489 см до 0,611 см.

6. Дана выборка значений, полученных при наблюдении за нормально распределенной случайной величины Х, объема n= 24.
53,0 57,0 61,3 65,4 67,3 70,4 73,4 75,6 81,9 89,0 64,6 78,9
54,0 57,0 61,4 65,5 67,4 70,5 73,5 75,8 82,2 90,0 64,7 79,0
Построить полигон частот, гистограмму, эмпирическую функцию распределения. Найти оценки математического ожидания, дисперсии и среднего квадратичного отклонения исследуемой случайной величины. Задаваясь доверительной вероятностью γ = 0,99, найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии.
Решение
Для начала проведем группировку данных на несколько групп с равными интервалами.
Для удобства количество групп примем равным 5.
Тогда ширина интервала будет равна:
h=xmax-xmin5=90-535=7,4
Интервал 53-60,4 60,4 – 67,8 67,8 – 75,2 75,2 – 82,6 82,6 — 90
Середина 56,7 64,1 71,5 78,9 86,3
Частота 4 8 4 6 2
Чтобы построить полигон, используем середины интервалов ряда:

Построим гистограмму частот в виде прямоугольников с размером, равным интервалу между значениями:

Составим функцию распределения F(Х) случайной величины Х:
Если x≤53, то FX=PX<x=0
Если 53<x≤60,4, то FX=PX<x=PX<64,06=424=0,17
Если 60,4<x≤67,8, то FX=PX<x=PX<69,12=1224=0,5
Если 67,8<x≤75,2, тоFX=PX<x=PX<74,18=1624=0,67
Если 75,2<x≤82,6, то FX=PX<x=PX<79,2=2224=0,92
Если 82,6<x≤90, то FX=PX<x=PX<84,3=2424=1
Функция F(X) будет иметь вид:
FX=0 x≤530,17 53<x≤60,40,5 60,4<x≤67,80,67 67,8<x≤75,20,92 75,2<x≤82,6 1 82,6<x≤90
Математическое ожидание рассчитаем как выборочную среднюю:
x=xin=1678,824=69,95
Дисперсию рассчитаем по формуле:
D=xi2n-x2=119878,224-69,952=101,223
Чтобы рассчитать среднеквадратическое отклонение, извлечем квадратный корень из рассчитанной дисперсии:
σ=D=101,223=10,06
Среднеквадратическое отклонение показывает меру разброса значений вокруг среднего – значения отличаются от среднего не более чем на 10,06.
Рассчитаем в каких пределах будет находиться значение математического ожидания:
x-tтабл.σn; x+tтабл.σn
Значение tтабл. определим по таблице Стьюдента:
tтабл.(n-1; /2)= tтабл.(23; 0,005)=3,77
Подставим в формулу и получим:
69,95-3,77∙10,0624; 69,95+3,77∙10,0624=
=69,95-7,74; 69,95+7,74=(62,21;77,69)
Математическое ожидание не выходит за пределы от 62,21 до 77,69.
Дисперсия:
101,223-3,77∙10,0624; 101,223+3,77∙10,0624==101,223-7,74; 101,223+7,74=(93,483;108,963)
Дисперсия находится в интервале от 93,483 до 108,963 с вероятностью 99%.

Литература:

Браилов А.В., Рябов П.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Методические рекомендации по самостоятельной работе. Часть 4. – М.: Финакадемия, кафедра «Теория вероятностей и математическая статистика», 2010. – 68 с.
Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по Теории вероятностей и математической статистике. Учебное пособие. -М.: Юрайт-издат, Высшее образование, 2009.
Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей: Учебник. — Изд. 8-е, испр. и доп. — М.: Едиториал УРСС, 2005. — 448 с. (Классический университетский учебник.).
Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М. Математика для экономистов: от Арифметики до Эконометрики./ Под ред. Н.Ш. Кремера. Учебно-справочное пособие — М.: Юрайт-издат, Юрайт-издат, , 2012.
Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов .В. Математика в экономике. Учебник. Часть 3. Теория вероятностей и математическая статистика. — М.: Финансы и статистика, 2008.

Вариант 3 На конвейер поступают однотипные изделия изготовленные двумя рабочими