Вариант 17 Задача 1.
Смесь, состоящая из М1 = 0,8 киломолей азота и М2 = 0,2 киломолей кислорода с начальными параметрами Р1 = 1 МПа и Т1 = 1000K, расширяется до давления Р2 = 0,40 МПа. Расширение может осуществляться по изотерме, адиабате и политропе с показателем n = 1,3. Определить газовую постоянную смеси, её массу и начальный объём, конечные параметры смеси, работу расширения и теплоту, участвующую в процессе. Дать сводную таблицу результатов и анализ её. Показать процессы в PV- и TS – диаграммах.
Решение:
Определяем массу смеси
М = MN2 + MО2,
где MN2 — масса азота;
MО2 – масса кислорода.
MN2 = M1*µN2;
где М1 – количество кмолей азота;
µN2= 28 кг/кмоль -молекулярная масса азота;
MN2 = 0,8*28 = 22,4 кг;
MО2 = M2*µО2,
где М2 – количество кмолей кислорода;
µО2 = 32 кг/кмоль -молекулярная масса кислорода.
MО2 = 0,2*32 = 6,4 кг.
Получаем
М = 22,4 + 6,4 = 28,8 кг.
Газовая постоянная смеси
RCM = 8314/ µCM,
где µCM — молекулярная масса смеси;
µCM= 1/[(mN2/ µN2) + (mO2/ µO2)],
где mN2 и mO2 – массовые доли азота и кислорода в смеси;
Массовые доли азота и кислорода в смеси:
mN2 = MN2 / M;
mO2 = MO2 / M;
mN2 = 22,4/28,8 = 0,78;
mO2 = 6,4/28,8 = 0,22.
µCM= 1/[(0,78/ 28) + (0,22/ 32)] = 28,8, тогда
RCM = 8314/ 28,8 = 289 Дж/(кг*К).
Начальный объём смеси
Объём смеси выражаем из уравнения состояния
Р*V = M*RCM*T,
V1 = M*RCM*T1/P1 = 28,8*289*1000 / (1*106) = 8,3 м3.
Изотермическое расширение.
Конечное давление по условию задачи Р2 = 0,40 МПа.
При изотермическом процессе T2 = T1 = 1000 K.
Объём определяем по уравнению:
V2 = P1*V1 / P2 = 1*106*8,3 / (0,40*106) = 20,75 м3.
Работа расширения:
L = M* RCM*T*ln(V2/V1) = 28,8*289*1000*ln(20,75/8,3) = 7626471 Дж.
Изменение внутренней энергии:
При изотермическом процессе температура не меняется, поэтому ∆U = 0.
Количество теплоты, участвующее в процессе:
Так как по первому закону термодинамики Q = L + ∆U, и ∆U = 0, то Q = L = 7626471 Дж.
Изменение энтропии:
∆S = M*RCM*ln(V2/V1) = 28,8*289*ln(20,75/8,3) = 7627 Дж/К.
Изменение энтальпии:
При изотермическом процессе ∆Н = 0.
Адиабатное расширение.
Конечное давление по условию задачи Р2 = 0,40 МПа.
Объём определяем по уравнению:
V2k = P1*V1k / P2,
k – показатель адиабаты, для двухатомных газов k = 1,4.
V21,4 = 1*106*8,31,4 / (0,40*106) = 48,38;
V2 = 15,97 м3.
Температуру определяем из уравнения:
T2 = T1*(V1 / V2 )k-1 = 1000*(8,3/15,97)1,4-1 = 770 K.
Работа расширения:
L = (M* RCM /(k – 1))*(T1 — T2) = (28,8*289 / (1,4 – 1))*(1000 — 770) = =4785840Дж.
Количество теплоты, участвующее в процессе:
Так как процесс адиабатный, то Q = 0.
Изменение внутренней энергии:
Так как по первому закону термодинамики Q = L + ∆U, и Q = 0,
то ∆U = — L = — 4785840Дж.
Изменение энтропии:
При адиабатном процессе ∆S = 0.
Изменение энтальпии:
∆Н = М*Срсм*(Т2 – Т1),
где Cрсм — массовая изобарная теплоёмкость смеси газов,
Cрсм = mO2*CpO2 + mN2*CpN2,
Cpi = µCрi /µi — массовая изобарная теплоёмкость газов,
µCрi = 29,1 кДж/(кмоль*К) – мольная изобарная теплоёмкость азота и кислорода,
mi — массовая доля азота и кислорода в смеси.
Cрсм = 0,78*29,1/28 + 0,22*29,1/32 = 1,03 кДж/(кг*К).
∆Н = 28,8*1030*(770 – 1000) = — 6822720 Дж.
Политропное расширение.
Конечное давление по условию задачи Р2 = 0,40 МПа.
Объём определяем из уравнения:
V2n = P1*V1n / P2;
V21,3 = 1*106*(8,3)1,3 / (0,40*106) = 39,15;
V2 = 16,80 м3.
Температуру определяем из уравнения:
T2 = T1*(V1 / V2 )n-1 = 1000*(8,3/16,80)1,3-1 = 809 K.
Работа расширения:
L =[M* RCM /(n – 1)]*(T1 — T2) = [28,8*289 / (1,3 – 1)]*(1000 — 809) = =5299104Дж.
Количество теплоты, участвующее в процессе:
Q = [(k – n)/(k – 1)]*L =[(1,4 – 1,3)/(1,4 – 1)]* 5299104 = 1324776 Дж.
Изменение внутренней энергии:
∆U = [(n – 1)/(1 – k)]*L =[(1,3 – 1)/(1 – 1,4)]* 5299104 = — 3974328 Дж.
Изменение энтропии:
∆S = M*Cvсм* [(n – k)/(n – 1)]/ ln(T2/T1)],
где Cvсм — массовая изохорная теплоёмкость смеси
Cvсм = mO2*CvO2 + mN2*CvN2,
Cvi = µCvi /µi — массовая изохорная теплоёмкость газов,
µCvi= 20,93 кДж/(кмоль*К) – мольная изохорная теплоёмкость азота и
кислорода,
Cvсм = 0,78*20,93/28 + 0,22*20,93/32 = 0,74 кДж/(кг*К).
∆S = 28,8*740*[(1,3 – 1,4)/(1,3 – 1)]/ ln(809/1000)] = 1506 Дж/К.
Изменение энтальпии:
∆Н = М*Срсм*(Т2 – Т1) = 28,8*1030*(809 – 1000) = — 5665824 Дж.
Результаты расчётов процесса расширения газа из состояния Р1 = 1МПа , Т1 = 1000К, V1 = 8,3 м3 до Р2 = 0,40 МПа .
Процесс T2, K L, Дж ∆U, Дж
Q, Дж
∆S, Дж/К.
Изотермический 1000 7626471 0 7626471 7627
Адиабатный 770 5389272 -5389272 0 0
Политропный 809 5299104 — 3974328 1324776 1506

Изображение процессов расширения в PV- и TS- диаграммах

Анализируя данные таблицы, приходим к выводу, что в адиабатном процессе теплота не подводится и не отводится. В изотермическом процессе расширения теплота подводится. Политропный процесс расширения (имеем -∞ < n < k)протекает также с подводом теплоты к рабочему телу. Наибольшая работа совершается при изотермическом процессе, так как не меняется температура в процессе, и следовательно, и внутренняя энергия системы, а тепло, подведённое, расходуется на совершение работы этой системой.
Вопрос
Как зависит работа расширения от показателя политропы и почему?
Ответ
Работа расширения при политропном процессе определяется по формуле
,
откуда видно, что с увеличением показателя политропы работа расширения уменьшается.
Графически это означает, что кривая политропного процесса в координатах становится более крутой и площадь под ней, которая изображает работу, уменьшается.

Вариант 17 Задача 1 Смесь состоящая из М1 = 0 8 киломолей азота и М2 = 0