В одном из микрорайонов города одновременно, но на разных площадках проходит празднование «Масленицы». Два соседних дома подготовили свою программу проведения праздничного мероприятия. При этом каждый дом ставит перед собой цель привлечь наибольшее количество зрителей, участников, чтобы их мероприятие было более ярким и запоминающимся.
Исходная информация
Предположим, что дом №1 является первым игроком, дом №2 – вторым игроком. У каждого игрока имеется свой набор стратегий:
Δ={δ1,δ2,δ3}- набор стратегий первого игрока, где:
δ1={танцевальная программа};
δ2={конкурсы и соревнования};
δ3={поощрительные призы наиболее активным участникам}.
ʘ={θ1, θ2, θ3} – набор стратегий второго игрока, где:
θ1={конкурсы и соревнования};
θ2={танцевальная программа};
θ3={бесплатное пользование аттракционами}.

Согласно опросам была получена зависимость между проводимыми мероприятиями и процентным увеличением количества зрителей.
Получена матрица потерь игрока 1 (матрица А):
А=132512323
Под наилучшим вариантом проведения программы подразумевается нахождение оптимальных стратегий обоих игроков, а также цены игры, т.е. максимальных потерь первого игрока или минимального выигрыша второго игрока. Используя различные подходы определения оптимальных стратегий, проанализируем представленную модель.
Минимаксный подход.
Определим цену игры с помощью минимаксного подхода.
Суть минимаксного подхода в следующем: Игрок 1 по каждой своей стратегии определяет максимальные выигрыши, а потом среди эти максимальных выбирает минимальные. Игрок 2 по каждой своей стратегии выбирает минимальные выигрыши, а потом среди минимальных выигрышей выбирает максимальный.

В1
В2
В3 maxaij
А1
1 3 2 3
А2
5 1 2 5
А3 3 2 3 3
minaij
1 1 2

max minaij=2 – минимальный возможный выигрыш игрока 2.
min maxaij=3 — максимальные возможные потери игрока 1.
Игра не имеет седловую точку, цена игры находится в интервале: 2≤С≤3

Определим смешанные стратегии игроков.
А=(А1, А2, А3) – множество чистых стратегий игрока 1.
В=(В1, В2, В3) – множество чистых стратегий игрока 2.
Решим игру в смешанных стратегиях.
Определим смешанные стратегии игроков:
P=(p1, p2, p3 ) — смешанная стратегия игрока 1.
Q = (q1, q2, q3 ) — смешанная стратегия игрока 2.
Прямая и двойственная задачи.

Прямая задача
Необходимо максимизировать функцию следующего вида:
fx=x1+x2+x3→max
При следующих ограничениях:
x1+5×2+3×3≤13×1+1×2+2×3≤12×1+2×2+3×3≤1
Решим задачу в MS Excell:

Получим решение:
0,214286 0,071429 0,142857
0,428571

Т.е х1=0,214, х2 =0,071, х3=0,143, f(x)=0,429.

Двойственная задача.
Необходимо минимизировать функцию
hy=y1+y2+y3→min
При следующих ограничениях:
y1+3y2+2y3≥15y1+1y2+2y3≥13y1+2y2+3y3≥1
Решим задачу в MS Excell:

Получим решение:
0,142857 0,285714 0
0,428571

Т.е y1=0,143, y2 =0,286, y3=0, h(x)=0,423.
C= g(x)=0,423=f(x)
Тогда получим решение:
pi=xiC
p1=0,499
p2=0,166
p3=0,333

qi=yC
q1=0,333
q2=0,666
q3=0

Частный случай задачи 3*3.
Рассмотрим три линейные функции вида:
fjx1,x2=a1jx1+a2jx2+a3j1-x1-x2,j=1,2,3

f1x1,x2=1×1+5×2+31-x1-x2=3-2×1+2×2
f2x1,x2=3×1+1×2+21-x1-x2=2+x1-x2
f3x1,x2=2×1+2×2+31-x1-x2=3-x1-x2
Число fjx1,x2 равно потерям игрока 1, если он применяет свою смешанную стратегию х=(x1, x2,1-x1-x2), а игрок 2 применяет свою чистую стратегию Вj.
Попарно приравниваем функции:
f1x1,x2=f2x1,x2, f2x1,x2=f3x1,x2, f1x1,x2=f3x1,x2
Получаем три линейных уравнения для переменных х1 и х2.
3-2×1+2×2=2+x1-x2
2+x1-x2=3-x1-x2
3-2×1+2×2=3-x1-x2

3×1-3×2=1
2×1=1
x1-3×2=0

На плоскости переменных х1Ох2 построим эти прямые, предварительно определив область определения:
1-x1-x2≥0
x1+x2≤1

Найдем координаты точек, входящих в область определения и находящихся на пересечении прямых (между собой, а также с границей), затем подставим их в функции и найдем потери.

Составим таблицу:
N x1 x2 x3 f1 f2 f3 fmax
1 1,00 0,00 0,00 1,00 3,00 2,00 3,00
2 0,00 1,00 0,00 5,00 1,00 2,00 5,00
3 0,00 0,00 1,00 3,00 2,00 3,00 3,00
4 0,50 0,17 0,33 2,33 2,33 2,33 2,33
5 0,50 0,50 0,00 3,00 2,00 2,00 3,00
6 0,50 0,50 0,00 3,00 2,00 2,00 3,00
7 0,67 0,33 0,00 2,33 2,33 2,00 2,33
8 0,75 0,25 0,00 2,00 2,50 2,00 2,50
9 0,33 0,00 0,67 2,33 2,33 2,67 2,67

Далее найдем минимум из чисел, стоящих в последнем столбце, это и будет искомая цена в расширенной игре.
А=2,33.
Координаты соответствующей точки определяют оптимальную стратегию игрока 1.
p1=0,5
p2=0,17
p3=0,33
Рассмотрим три линейных функции:
gjy1,y2=ai1y1+ai2y2+ai31-y1-y2,
i=1,2,3
g1y1,y2=1y1+3y2+21-y1-y2=2-y1+y2
g2y1,y2=5y1+1y2+21-y1-y2=5+3y1-y2
g3y1,y2=3y1+2y2+31-y1-y2=3-y2

Число gjy1,y2 равно выигрышу игрока 2, если он применяет свою смешанную стратегию y=(y1,y2,1-y1-y2), а игрок 1 применяет свою чистую стратегию Ai.
Попарно приравниваем функции:
g1y1,y2=g2y1,y2, g2y1,y2=g3y1,y2, g1y1,y2=g3y1,y2
Получаем три линейных уравнения для переменных y1 и y2.
2-y1+y2=5+3y1-y2
5+3y1-y2=3-y2
2-y1+y2=3-y2

4y1-2y2=7
3y1=-2
-y1+2y2=1
На плоскости переменных y1Оy2 построим эти прямые, предварительно определив область определения:
1-y1-y2≥0
y1+y2≤1

Найдем координаты точек, входящих в область определения и находящихся на пересечении прямых (между собой, а также с границей), затем подставим их в функции и найдем потери.
Составим таблицу:
N y1 y2 y3 g1 g2 g3 g max
1 1,00 0,00 0,00 1,00 3,00 3,00 3,00
2 0,00 1,00 0,00 3,00 2,00 -2,00 3,00
3 0,00 0,00 1,00 2,00 3,00 3,00 3,00
4 0,00 0,50 0,50 2,50 2,50 -0,75 2,50
5 0,33 0,67 0,00 2,33 2,33 -0,33 2,33

Далее найдем минимум из чисел, стоящих в последнем столбце, это и будет искомая цена в расширенной игре.
А=2,33.
Координаты соответствующей точки определяют оптимальную стратегию игрока 2.
q1=0,333
q2=0,666
q3=0

Байесовский подход.
Предположим, что игрок 2 владеет информацией о том, как поведет себя игрок 1, т.е игрок 2 располагает распределением вероятностей использования своих чистых стратегий игроком 1 P=(p1, p2, p3 ) — вероятности.
Пусть
P’=(p’1, p’2, p’3 )=(0,3; 0,5; 0,2).
Тогда
а1=1*0,3+5*0,5+3*0,2=3,4
а2=3*0,3+0,5+2*0,2=1,8
а3=2*0,3+2*0,5+3*0,2=2,2
Max(3,4; 1,8; 2,2)=3,4.
3,4 – минимальный выигрыш игрока 2.

Рассмотрим случай, когда игрок 2 желает применить свою вторую стратегию В2, т.е ставится задача определить при каком диапазоне вероятностей q2 вторая стратегия игрока 2 будет являться байесовской стратегией, при условии что q1=0,3.

а1=1*0,3+5*q2+3*0,7-q2=2,4+2q2
а2=3*0,3+q2+2*0,7-q2=2,3-q2
а3=2*0,3+2*q2+3*0,7-q2=2,7-q2
Нам необходимо, чтобы max (a1,a2,a3)=a2.
Необходимо решить следующую систему неравенств:
2,3-q2≥2,4+2q2
2,3-q2≥2,7-q2

q2≤0,033
-0,4≥0
Такой вероятности при q1=0,3 не существует.

Рассмотрим случай, когда игрок 2 желает применить свою третью стратегию В3, т.е ставится задача определить при каком диапазоне вероятностей q3 третья стратегия игрока 2 будет являться байесовской стратегией, при условии что q1=0,3.
а1=1*0,3+50,7-q3+3*q3=3,8-2q3
а2=3*0,3+0,7-q3+2*q3=q3+1,6
а3=2*0,3+2*0,7-q3+3*q3=2+q3
Нам необходимо, чтобы max (a1,a2,a3)=a3.
Необходимо решить следующую систему неравенств:
2+q3≥3,8-2q3
2+q3≥q3+1,6
Получим решение:
q3≥0,6
Чтобы игрок 2 применил свою третью стратегию, необходимо выполнение следующего условия:
0,6≤q3≤1
При q1=0,3.

Вторым предположением является противоположный подход, а именно, что игрок а владеет информацией о том, как поведет себя игрок 2, т.е игрок 1 располагает распределением вероятностей использования своих чистых стратегий игроком 2 Q = (q1, q2, q3 ) — вероятности.
Байесовской называется та стратегия, при которой средние потери минимальны.
Пусть
Q’=(q’1, q’2, q’3 )=(0,4; 0,25; 0,35).
а1=1*0,4+3*0,25+2*0,35=1,85
а2=5*0,4+0,25+2*0,35=2,95
а1=3*0,4+2*0,25+3*0,35=2,75
Min(1,85; 2,95; 2,75)=2,75.
2,75 – максимальные потери игрока 1.

Рассмотрим случай, когда игрок 1 желает применить свою первую стратегию А1, т.е ставится задача определить при каком диапазоне вероятностей q1 первая стратегия игрока 1 будет являться байесовской стратегией, при условии что q3=0,35.

а1=1*q1+3*(0,65-q1)+2*0,35=2,85-2q1
а2=5*q1+(0,65-q1)+2*0,35=4q1-1,35
а1=3*q1+2*0,65-q1+3*0,35=q1+2,35
Нам необходимо, чтобы min (a1,a2,a3)=a1.
Необходимо решить следующую систему неравенств:
2,85-2q1≤4q1-1,35
2,85-2q1≤q1+2,35

q1≥0,7
q1≥0,1667
Чтобы игрок 1 применил свою первую стратегию, необходимо выполнение следующего условия:
0,7≤q3≤1
При q3=0,35.

Рассмотрим случай, когда игрок 1 желает применить свою вторую стратегию A3, т.е ставится задача определить при каком диапазоне вероятностей q3 вторая стратегия игрока 1 будет являться байесовской стратегией, при условии что q3=0,35.
а1=1*0,65-q2+3*q2+2*0,35=2q2+1,35
а2=5*0,65-q2+1q2+2*0,35=-q2+3,95
а1=3*0,65-q2+2*q2+3*0,35=3-q2
Нам необходимо, чтобы min (a1,a2,a3)=a2.
Необходимо решить следующую систему неравенств:
-q2+3,95≤2q2+1,35
-q2+3,95≤3-q2
Получим решение:
q3≥0,867
0,95≤0
Такой вероятности при q3=0,35 не существует.

Критерии принятия решения в условиях неопределенности. Критерий Лапласа.

Если вероятности состояний природы правдоподобны, для их оценки используют принцип недостаточного основания Лапласа, согласно которого все состояния природы полагаются равновероятными, т.е.:
q1 = q2 = … = qn = 1/n.
qi = 1/3
А=132512323

Сточки зрения игрока 1:
а1=131+3+2=2
а2=135+1+2=83
а1=133+2+3=83
Тогда min(a1,a2,a3) =2
А1 – оптимальная стратегия.

2 — минимальные средние потери игрока 1.

С точки зрения игрока 2_b1=131+5+3=3
b2=133+1+2=2
b1=132+2+3=73
Тогда max(b1,b2,b3) =3
3 – максимальный средний выигрыш игрока 2, оптимальная стратегия В1.

Критерий Гурвица.
А=132512323
С точки зрения игрока 1 имеем (при а=0,3):
А Min aij
Max aij
A*min(aij)+(1-a)*max (aij)
А1
2 3 2,7
А2
1 5 3,8
А3 2 3 2,7

Тогда min =2,7. Отсюда стратегия А1 является оптимальной.
С точки зрения игрока 2 имеем:
При а=0,8.
В Max aij
Min aij
A*max(aij)+(1-a)*min (aij)
В1
5 1 4,2
В2
3 1 2,6
В3 3 2 2,8

Тогда max=4,2.
Оптимальная стратегия является В1, минимальный выигрыш равен 4,2.

Критерий Ходжа-Лемана.
С точки зрения игрока 1 (при b=0,9), возьмем распределение вероятностей Q’=(q’1, q’2, q’3 )=(0,4; 0,25; 0,35).
Построим таблицу:

А j=13aijqj
maxaij
bj=13aijqj+(1-b)maxaij
А1
1,85 3 1,965
А2
2,95 5 3,155
А3 2,75 3 2,775

Найдем min=1,965.
А1 – оптимальная стратегия. Максимальные потери равны 1,965.

С точки зрения игрока 2 (при b=0,3), возьмем распределение вероятностей P’=(p’1, p’2, p’3 )=(0,3; 0,5; 0,2).
Построим таблицу:
А j=13aijpj
minaij
bj=13aijpj+(1-b)minaij
B1 3,4 1 1,72
B2 1,8 1 1,24
B3 2,2 2 2,06
Найдем max=2,06.
B3 – оптимальная стратегия. Минимальный выигрыш составит 2,06.

Критерий Сэвиджа.
А=132512323
Рассмотрим игру с матрицей потерь игрока 1.
Матрица сожалений:
020400211
0 2 0 2
4 0 0 4
2 1 1 2

Вектор из максимальных потерь по стратегиям игрока 1 равен (2,4,2). Минимальное значение среди них – 2. Следовательно А1 и А3– оптимальные стратегии.

Рассмотрим игру с матрицей выигрышей игрока 1.
А=132512323
Матрица сожалений:

201043010
2 0 1 2
0 4 3 4
0 1 0 1

Вектор из максимальных потерь по стратегиям игрока 1 состоит (2,4,1).
Минимальное значение равно 1. Оптимальные стратегии игрока 2 равны В3

Кооперативная игра двух участников с ненулевой суммой.
Зададим матрицу игры:
С=(1,3)5,2(6,3)(2,4)(4,5)(2,3)(0,5)(2,5)(5,2)
Тогда матрицы выигрыша первого и второго игроков будут иметь вид:
А=156242025
В=323453552
Изобразим на координатной плоскости точки, соответствующие каждому элементу матрицы С:

Отметим точку Т=(Т1, Т2) – точку угрозы, где Т1, Т2 – выигрыши игроков без вступления в коалицию.
Для игрока 1:
1 5 6 1
2 4 2 2
0 2 5 0
2 5 6
Т1=2.

Для игрока 2:
3 2 3 3
4 5 3 5
5 5 2 5
3 2 2
Т2=3.

Следовательно точка угрозы имеет координаты: Т=(2,3).

Отметим область:

Северо-восточная граница области является оптимальным по Парето.
Отрезок, находящийся выше точки угрозы – переговорное множество, которое является множеством решений данной задачи.

Критерий Нэша для кооперативной игры.
Для нахождения одного из множества решений кооперативной игры применяют критерий Нэша fW1,W2=W1-T1(W2-T2)
Точка равновесии по Нэшу удовлетворяет условию:
fW1*,W2*=maxW1,W2fW1,W2
Проведем расчет для точки (2,3):
fW1,W2=W1-2(W2-3)
x-x1x1-x2=y-y1y1-y2
x-44-6=y-55-3
x-4-2=y-52

-x+4=y-5
y=-x+9
Где x=W1, y=W2.
fW1=W1-2(-W1+9-3)
fW1=W1-2-W1+6=-W12+8W1-12→max
W1=4, W2=4
Тогда точка равновесия по Нэшу — (4,4).

В одном из микрорайонов города одновременно но на разных площадках проходит празднование «Масленицы»