Тема: Простые и сложные проценты
11. Годовая ставка при начислении обыкновенных процентов по депозитному 30-дневному сертификату номиналом 100 тыс. руб. равна 10 %. Год високосный. Определить: а) размер годовой ставки при начислении точных процентов, обеспечивающей доход, равный коммерческим процентам (используя прямое и обратное соотношение обыкновенных и точных процентов); б) сумму обыкновенных и точных процентов, выплаченных при погашении сертификата.
Решение
Формула процентов: I= P*n*i, где:
I – сумма процентов,
P – первоначальная сумма (в этой задаче – сумма сертификата),
n – срок сертификата,
i – процентная ставка.
а) Размер годовой ставки при начислении точных процентов iточн = iобыкн *365/360 = 10%*365/360=10,14%.
б) сумма обыкновенных процентов:
Iобыкн = 100000 * (30/360) * 0,1 = 833,3 руб.
Сумма точных процентов:
Iточн = 100000 * (30/365) *0,1014 = 833,4 руб. – разница из-за округления в пункте а)

41. Какой величины достигнет долг, равный 1 млн руб., через 5 лет при росте по сложной ставке 15,5 % годовых?
Решение
S = P*(1+i)n, где:
S – наращенная сумма долга,
P – первоначальный размер долга,
n – срок (число лет наращивания),
i – уровень годовой ставки процентов.
S = 1 000 000 * (1+0.155)5= 2 055 464.2 руб.

Тема: Эффективная ставка процентов
8. Облигация номиналом 20 тыс. руб. выпущена на 5 лет при номинальной ставке 6 %. Рассчитать эффективную учетную ставку и определить наращенную стоимость по эффективной ставке, если начисление процентов производится один раз в полугодие.
Решение
Эффективная процентная ставка: iэфф= (1+j/m)m-1, где:
iэфф – эффективная процентная ставка,
j – номинальная процентная ставка,
m – количество начислений за год.
iэфф = (1+0.06/2)2-1=0.0609=6.09% годовых.
Эффективная учетная ставка
dэфф=1- 1/(1+iэфф)=1-1/(1+0,0609)=0,0574=5,74% годовых.
Наращенная стоимость S = P*(1+i)n, где:
S – наращенная сумма долга,
P – первоначальный размер долга,
n – срок (число лет наращивания),
i – уровень годовой ставки процентов.
S=20 000 * (1+0.0609)5=26 878.33 руб.
Тема: математическое и банковское дисконтирование
19. Через 180 дней после подписания договора должник уплатит 310 тыс. руб. Кредит выдан под 16 % годовых. Какова первоначальная сумма долга при условии, что временная база равна 365 дням?
Решение
P = S/(1+i*n), где:
P –первоначальная сумма долга,
S – будущая сумма долга,
i – годовая ставка процентов,
n – срок.
P = 310 000 / (1+0.16*180/365) = 287 328.59 руб.
49. Определить современное значение суммы в 120 тыс. руб., которая будет выплачена через 2 года при использовании сложной учетной ставки 16 % годовых.
Решение
P = S*(1-d)n, где:
P –первоначальная сумма долга,
S – будущая сумма долга,
d – учетная ставка,
n – срок.
P = 120000*(1-0.16)2= 84 672 руб.

Тема: Эквивалентность процентных ставок (средние ставки)
30. Какой величины достигнет долг, равный 1 млн руб., через 5 лет при росте по сложной ставке 15,5 % годовых?
Решение
S = P*(1+i)n, где:
S – наращенная сумма долга,
P – первоначальный размер долга,
n – срок (число лет наращивания),
i – уровень годовой ставки процентов.
S = 1 000 000 * (1+0.155)5= 2 055 464.2 руб.
60. На сумму 15 тыс. руб. начисляются проценты по сложной годовой ставке 22 % в течение 3,5 лет. Определить силу роста и наращенную сумму при дискретном и непрерывном начислении.
Решение
Сила роста: δ=ln(1+i), где:
δ – сила роста,
i – годовая процентная ставка.
δ=ln(1+0.22)=ln(1.22)= 0.1989.
Наращенная сумма при дискретном начислении: S = P*(1+i)n, где:
S – наращенная сумма долга,
P – первоначальный размер долга,
n – срок (число лет наращивания),
i – уровень годовой ставки процентов.
Sдискр = 15 000 * (1+0.22)3,5= 30 085,05 руб.
Наращенная сумма при непрерывном начислении процентов:
Sнепрерыв = P*eδ*n=15 000 * 2,718280.1989*3.5 = 30 090.21 руб.

Тема: Расчеты в условиях инфляции
18. Кредит 12 тыс. руб. выдан на 3 года. На этот период прогнозируется рост цен в 2,2 раза. Определить ставку процентов при выдаче кредита и наращенную сумму долга, если реальная доходность должна составлять 12 % годовых по ставке сложных процентов.
Решение
Брутто-ставка r=i+h+i*h, где:
r – брутто-ставка,
i – реальная доходность,
h – прирост цен (темп инфляции).
Если цены увеличиваются в 2,2 раза, то h=2.2-1=1.2=120%.
r = 12% + 120% + 12%*120% = 1.464 = 146.4% годовых.
S = P*(1+r)n, где:
S – наращенная сумма долга,
P – первоначальный размер долга,
n – срок (число лет наращивания),
i – брутто-ставка (учитывает инфляцию).
S = 12000* (1+1.464)^3= 179 516.08 руб.
Тема: консолидация платежей
4. Фирма имеет ряд финансовых обязательств перед одним кредитором — 2,5, 3,1 и 2,7 млн руб., которые должна погасить через 40, 70 и 160 дней соответственно после 01.01 текущего года. По согласованию стороны решили заменить их одним платежом, равным 9 млн руб., с продлением срока оплаты, используя процентную ставку 12 %. Определить современную величину объединяемых платежей.
Решение
, где:
P – современная величина платежа,
A – номинальная сумма платежа,
r – процентная ставка,
n – срок.
Первый платеж: P1 = 2.5 / (1+0.12*40/365) = 2.468 млн. руб.
Второй платеж: P2 = 3.1/(1+0.12*70/365) = 3.03 млн. руб.
Третий платеж: P3 = 2.7/(1+0.12*160/365) = 2.565 млн. руб.
Суммарная современная стоимость платежей P1+P2+P3 = 2,468+3,03+2,565 = 8,063 млн. руб.

Тема: Доходность финансовых операций
6. Депозитный сертификат куплен за 150 дней до наступления срока погашения за 1020 (1100) руб. Номинальная стоимость этого сертификата — 1000 руб., срок с момента выпуска до момента погашения — 240 дней, объявленная ставка — 10 % годовых. Годовой дивизор — 365 дней. Определить доходность финансовой операции в виде простой ставки наращения.
Решение
r = , где:
r – lдоходность операции,
N – номинал сертификата,
P – цена приобретения сертификата,
i – процентная ставка,
t –срок владения.
r=0.0503=5.03% годовых.
Тема: постоянные ренты
21. Для мелиоративных работ государство перечисляет фермеру 500 долл. в год. Деньги поступают на специальный счет и на них начисляют каждые полгода 4 % сложных годовых. Сколько накопится на счете через 5 лет?
Решение
где:
S – наращенная сумма,
R – размер ежегодного взноса,
j – номинальная процентная ставка,
m – количество начислений в году,
n — срок (в годах).
S=2710.33 долл.
Тема: переменные потоки платежей
14. В фонд ежегодно поступают средства, на которые начисляются проценты по силе роста 15 % годовых, причем выплаты производятся поквартально, а проценты начисляются ежемесячно. Величина фонда на конец срока составит 100 тыс. руб., годовая выплата — 10 тыс. руб. Определить срок ренты.
Решение
, где:
S – наращенная сумма,
R – сумма платежа,
δ – сила роста,
m – количество начислений процентов в год,
n – количество ежеквартальных платежей.
=5.17 платежей.
Тогда t=5.17/4 = 1,3 года.

Тема: Погашение задолженностей
2. В соответствии с обязательством долг в сумме 100 тыс. руб. должен быть погашен в течение трех лет. Проценты начисляются по сложной ставке 14 % годовых. Погашение долга производится частичными платежами: в конце первого года выплачивается сумма 20 тыс. руб., в конце второго — 50 тыс., остаток — в конце третьего года. Определить сумму, выплачиваемую в конце срока.
Решение
Год Долг на начало года Начисленные проценты
(ст.2*0,14) Платеж Погашение осн.долга
(ст.4-ст.3) Долг на конец года
(ст.2-ст.5)
Ст.1 Ст.2 Ст.3 Ст.4 Ст.5 Ст.6
1 100 000,0 14 000,0 20 000,0 6 000,0 94 000,0
2 94 000,0 13 160,0 50 000,0 36 840,0 57 160,0
3 57 160,0 8 002,4 65 162,4 57 160,0 0,0
Для того, чтобы погасить остаток долга в 3м году и сумму начисленных процентов, требуется платеж в размере 65 162,4 руб.

Тема Простые и сложные проценты 11 Годовая ставка при начислении обыкновенных процентов по депозитному 30-дневному сертификату номиналом 100 тыс