Контрольные работы по теории вероятностей и математической статистике
Контрольная работа №1. Дискретная случайная величина.
Вариант №7.
1.К экзамену нужно выучить 30 вопросов. Студент выучил 20. Преподаватель спрашивает 3 вопроса. Найти вероятность, что студент знает два вопроса.
Решение:
Количество всех исходов равно числу сочетаний из 30 по 3 вопроса.
Количество благоприятных исходов равно произведению числа сочетаний из 20 по 2 известных студенту вопроса и числа сочетаний из 10 по 1 неизвестному студенту вопросу.
Тогда искомая вероятность равна:
PA=C202C101C303=20!2!20-2!*1030!3!30-3!≈0,468

2.Найти вероятность того, что из 1461 человека хотя бы один родился 29 февраля.
Решение:
Вычислим искомую вероятность как вероятность события, противоположного «из 1461 человек никто не родился 29 февраля»
Вероятность человека родиться 29 февраля найдем с учетом того, что на период из 4 лет приходится только один високосный год, т.е. из 4*365 + 1 = 1461 дней только один день 29 февраля: p=1/1461, соответственно вероятность родиться не 29 февраля q= 1 – p = 1460/1461.
Напрямую вероятность данного события можно вычислить по формуле Бернулли:
PnA,m=C14611461p0q1461=1*1*14601461 1461≈0,368
Ввиду порядка цифр подобное выражение без специальных математических пакетов вычислить проблематично, поэтому на практике прибегают к приближенным формулам вычисления вероятности.
Поскольку a=p*n=1<10, то воспользуемся формулой Пуассона:
PnA,m≈amm!e-a=100!*e-1≈0,368
Тогда искомая вероятность равна:
PA=1-PnA,m=1-0,368=0,632

3.В первой урне 2 белых и 3 черных шара, во второй 1 белый и 4 черных, в третьей 2 белых и 2 черных. Из случайной урны берут 2 шара. Найти вероятность, что ровно один шар окажется белым.
Решение:
Шанс урны быть случайно выбранной – равновероятен для каждой их трех урн, поэтому:
PH1=PH2=PH3=13
Вычислим вероятности того, что из двух извлеченных шаров ровно один окажется белым для каждой из урн.
Для первой урны количество всех исходов равно числу сочетаний из 5 по 2 шара, количество благоприятных исходов равно произведению числа сочетаний из 2 по 1 белому шару и числа сочетаний из 3 по 1 шару:
PAH1=C21*C31C52=2*35!2!5-2!=35
Подобным образом для второй и третьей урны:
PAH2=C11*C41C52=1*45!2!5-2!=25
PAH3=C21*C21C42=2*24!2!4-2!=13
Искомую вероятность вычисляем по формуле полной вероятности:
PA=iPHi*PAHi=13*35+13*25+13*13=49

4.В колоде 36 карт. Берут три карты. Случайная величина Х — число треф среди взятых карт. Найти закон распределения Х, математическое ожидание, дисперсию.
Решение:
Случайная величина Х принимает значения от 0 до 3. Найдем соответствующие вероятности.
Количество всех исходов равно числу сочетаний из 36 по 3 карты, а количество благоприятных исходов равно произведению числа сочетаний из 9 по xi треф и числа сочетаний из 27 по (3 – xi) не треф.
Px=0=C90*C273C363=1*27!3!27-3!36!3!36-3!≈0,41
Px=1=C91*C272C363=9*27!2!27-2!36!3!36-3!≈0,44
Px=2=C92*C271C363=9!2!9-2!*2736!3!36-3!≈0,14
Px=3=C93*C270C363=9!3!9-3!*136!3!36-3!≈0,01
Проверяем:
iPxi=0,41+…+0,01=1
Закон распределения имеет вид:
X 0 1 2 3
P(x) 0,41 0,44 0,14 0,01

Математическое ожидание:
Mx=ixi*Pxi=0*0,41+…+3*0,01=0,75
Дисперсия:
Dx=ixi2*Pxi-Mx2=02*0,41+…+32*0,01-0,752=0,5275

Контрольная работа №2. Непрерывная случайная величина.
Вариант №7.
1.Плотность вероятности распределения случайной величины имеет вид
Найти вероятность того, что из 5 независимых случайных величин, распределенных по данному закону, 1 окажется на интервале (1;).
Решение:
Приведем плотность к стандартному для нормального закона виду:
fx=1σ2πe-(x-a)22σ2
Имеем:
fx=142πe-(x+2)232=142πe-(x-(-2))22*42
Таким образом, случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами a=-2; σ=4.
Найдем вероятность попадания случайной величины в интервал (1;):
P-1<x<∞=Ф∞—24- Ф-1—24=Ф∞-Ф14=0,40129
Искомую вероятность найдем по формуле Бернулли:
P5A,1=C51p1(1-p)4=5*0,40129*(1-0,40129)4≈0,25781

2.Найти вероятность того, что из 160 человек менее 40 родились летом.
Решение:
Вероятность рождения человека летом найдем как отношение количества летних дней в году к общему количеству дней в обычном году:
p=92365≈0,252
Искомую вероятность вычислим с помощью интегральной теоремы Муавра-Лапласа:
Pm1≤m≤m2≈Фx2-Фx1;x1=m1-npnpq;x2=m2-npnpq
Подставляем:
x1=m1-npnpq=0-160*0,252160*0,252*(1-0,252)≈-7,35
x2=m2-npnpq=39-160*0,252160*0,252*(1-0,252)≈-0,24
P0≤m≤39≈Ф-0,24-Ф-7,35=Ф7,35-Ф0,24=0,40517

3.Плотность вероятности распределения случайной величины Х имеет вид .
Найти: 1) значение ; 2) математическое ожидание Х; 3)дисперсию Х; 4) вероятности P[/6<X<2/3], P[/3<X<3].
Решение:
Неизвестный параметр найдем из свойства плотности распределения:
-∞∞fxdx=1
В нашем случае:
0πa*sinxdx=-a*cosx0π=2a;2a=1;a=12
Плотность распределения имеет вид:
fx=0;-∞<x≤012sinx;0<x≤π0;x>π
Математическое ожидание:
Mx=-∞∞xf(x)dx
В нашем случае:
Mx=0π12x*sinxdx=12(sinx-x*cosx0π=π2
Дисперсия:
Dx=-∞∞x2fxdx-M(x)2
В нашем случае:
Dx=0π12×2*sinxdx-π22=12(2cosx+2x*sinx-x2*cosx0π-π24=π2-84
Вероятность попасть в интервал:
Px1≤x≤x2=x1x2f(x)dx
Подставляем:
Pπ6≤x≤2π3=π/62π312sinxdx=-12*cosxπ62π3=1+34≈0,683
Pπ3≤x≤3π=Pπ3≤x≤π=π/3π12sinxdx=-12*cosxπ3π=0,75

4.Случайная величина Х равномерно распределена на отрезке [0;1]. Найти плотность вероятности распределения случайной величины Y, если .
Решение:
Если случайная величина равномерно распределена на отрезке [a;b], ее плотность распределения имеет вид:
fx=0;x<a1b-a;a≤x≤b0;x>b
Т.к. случайная величина Х равномерно распределена на отрезке [0;1], то случайная величинаY=2X+1 будет также распределена равномерно, но уже на отрезке [0*2+1;1*2+1] = [0;3]. Тогда ее плотность распределения имеет вид:
fy=0;y<013;0≤y≤30;y>3

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №3
Вариант 7.

Контрольные работы по теории вероятностей и математической статистике Контрольная работа №1