3 4 Запасы
1 15 13 14 10 100
2 — 8 7 3 200
3 10 18 — 12 150
Потребности 100 100 200 100
Поскольку в матрице присутствуют запрещенные к размещению клетки, то для отыскания оптимального плана достаточно заменить их на максимальные тарифы (18 умноженное на 3).

1 2 3 4 Запасы
1 15 13 14 10 100
2 54 8 7 3 200
3 10 18 54 12 150
Потребности 100 100 200 100
Проверим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи.∑a = 100 + 200 + 150 = 450∑b = 100 + 100 + 200 + 100 = 500Как видно, суммарная потребность груза в пунктах назначения меньше запасов груза на базах. Следовательно, модель исходной транспортной задачи является открытой. Чтобы получить закрытую модель, введем дополнительную (фиктивную) потребность, равной 50 (500—450). Тарифы перевозки единицы груза из базы во все магазины полагаем равны нулю.Занесем исходные данные в распределительную таблицу.

1 2 3 4 Запасы
1 15 13 14 10 100
2 54 8 7 3 200
3 10 18 54 12 150
4 0 0 0 0 50
Потребности 100 100 200 100
Этап I. Поиск первого опорного плана.1. Используя метод наименьшей стоимости, построим первый опорный план транспортной задачи.

1 2 3 4 Запасы
1 15 13[100] 14 10 100
2 54 8 7[100] 3[100] 200
3 10[100] 18 54[50] 12 150
4 0 0 0[50] 0 50
Потребности 100 100 200 100
2. Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 6, а должно быть m + n — 1 = 7. Следовательно, опорный план является вырожденным. Строим новый план.Значение целевой функции для этого опорного плана равно:F(x) = 13*100 + 7*100 + 3*100 + 10*100 + 54*50 + 0*50 = 6000

1 2 3 4 Запасы
1 15 13 14 10[100] 100
2 54 8 7[200] 3 200
3 10[100] 18[50] 54 12 150
4 0 0[50] 0 0 50
Потребности 100 100 200 100
2. Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 5, а должно быть m + n — 1 = 7. Следовательно, опорный план является вырожденным. Строим новый план.Значение целевой функции для этого опорного плана равно:F(x) = 10*100 + 7*200 + 10*100 + 18*50 + 0*50 = 4300

1 2 3 4 Запасы
1 15 13 14[100] 10 100
2 54 8[100] 7 3[100] 200
3 10[100] 18 54[50] 12 150
4 0 0 0[50] 0 50
Потребности 100 100 200 100
2. Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 6, а должно быть m + n — 1 = 7. Следовательно, опорный план является вырожденным. Строим новый план.Значение целевой функции для этого опорного плана равно:F(x) = 14*100 + 8*100 + 3*100 + 10*100 + 54*50 + 0*50 = 6200

1 2 3 4 Запасы
1 15 13 14 10[100] 100
2 54 8 7[200] 3 200
3 10[100] 18[50] 54 12 150
4 0 0[50] 0 0 50
Потребности 100 100 200 100
2. Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 5, а должно быть m + n — 1 = 7. Следовательно, опорный план является вырожденным. Строим новый план.Значение целевой функции для этого опорного плана равно:F(x) = 10*100 + 7*200 + 10*100 + 18*50 + 0*50 = 4300

1 2 3 4 Запасы
1 15 13[100] 14 10 100
2 54 8 7[100] 3[100] 200
3 10[100] 18 54[50] 12 150
4 0 0 0[50] 0 50
Потребности 100 100 200 100
2. Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 6, а должно быть m + n — 1 = 7. Следовательно, опорный план является вырожденным. Строим новый план.Значение целевой функции для этого опорного плана равно:F(x) = 13*100 + 7*100 + 3*100 + 10*100 + 54*50 + 0*50 = 6000

1 2 3 4 Запасы
1 15 13[100] 14 10 100
2 54 8 7[200] 3 200
3 10[50] 18 54 12[100] 150
4 0[50] 0 0 0 50
Потребности 100 100 200 100
2. Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 5, а должно быть m + n — 1 = 7. Следовательно, опорный план является вырожденным. Строим новый план.Значение целевой функции для этого опорного плана равно:F(x) = 13*100 + 7*200 + 10*50 + 12*100 + 0*50 = 4400

1 2 3 4 Запасы
1 15 13[100] 14 10 100
2 54 8 7[100] 3[100] 200
3 10[100] 18 54[50] 12 150
4 0 0 0[50] 0 50
Потребности 100 100 200 100
2. Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 6, а должно быть m + n — 1 = 7. Следовательно, опорный план является вырожденным. Строим новый план.Значение целевой функции для этого опорного плана равно:F(x) = 13*100 + 7*100 + 3*100 + 10*100 + 54*50 + 0*50 = 6000

1 2 3 4 Запасы
1 15 13 14[100] 10 100
2 54 8 7[100] 3[100] 200
3 10[100] 18[50] 54 12 150
4 0 0[50] 0 0 50
Потребности 100 100 200 100
2. Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 6, а должно быть m + n — 1 = 7. Следовательно, опорный план является вырожденным. Строим новый план.Значение целевой функции для этого опорного плана равно:F(x) = 14*100 + 7*100 + 3*100 + 10*100 + 18*50 + 0*50 = 4300

1 2 3 4 Запасы
1 15[100] 13 14 10 100
2 54 8 7[100] 3[100] 200
3 10 18[100] 54[50] 12 150
4 0 0 0[50] 0 50
Потребности 100 100 200 100
2. Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 6, а должно быть m + n — 1 = 7. Следовательно, опорный план является вырожденным. Строим новый план.Значение целевой функции для этого опорного плана равно:F(x) = 15*100 + 7*100 + 3*100 + 18*100 + 54*50 + 0*50 = 7000

1 2 3 4 Запасы
1 15[100] 13 14 10 100
2 54 8 7[100] 3[100] 200
3 10 18[100] 54[50] 12 150
4 0 0 0[50] 0 50
Потребности 100 100 200 100
Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 6, а должно быть m + n — 1 = 7. Следовательно, опорный план является вырожденным.Значение целевой функции для этого опорного плана равно:F(x) = 15*100 + 7*100 + 3*100 + 18*100 + 54*50 + 0*50 = 7000На протяжении многих итераций так и не удалось получить невырожденный план.Для получения невырожденного плана принудительно добавляем нуль [0] в клетку (1;1); Возвращаемся к плану №7

1 2 3 4
1 15[0] 13 14[100] 10
2 54 8 7[100] 3[100]
3 10[100] 18[50] 54 12
4 0 0[50] 0 0
Этап II. Улучшение опорного плана.Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ui, vj. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vj = cij, полагая, что u1 = 0.u1 + v1 = 15; 0 + v1 = 15; v1 = 15u3 + v1 = 10; 15 + u3 = 10; u3 = -5u3 + v2 = 18; -5 + v2 = 18; v2 = 23u4 + v2 = 0; 23 + u4 = 0; u4 = -23u1 + v3 = 14; 0 + v3 = 14; v3 = 14u2 + v3 = 7; 14 + u2 = 7; u2 = -7u2 + v4 = 3; -7 + v4 = 3; v4 = 10

v1=15 v2=23 v3=14 v4=10
u1=0 15[0] 13 14[100] 10
u2=-7 54 8 7[100] 3[100]
u3=-5 10[100] 18[50] 54 12
u4=-23 0 0[50] 0 0
Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых ui + vj > cij(1;2): 0 + 23 > 13; ∆12 = 0 + 23 — 13 = 10(2;2): -7 + 23 > 8; ∆22 = -7 + 23 — 8 = 8max(10,8) = 10Выбираем максимальную оценку свободной клетки (1;2): 13Для этого в перспективную клетку (1;2) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

1 2 3 4 Запасы
1 15[0][-] 13[+] 14[100] 10 100
2 54 8 7[100] 3[100] 200
3 10[100][+] 18[50][-] 54 12 150
4 0 0[50] 0 0 50
Потребности 100 100 200 100
Цикл приведен в таблице (1,2 → 1,1 → 3,1 → 3,2).Из грузов хij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (1, 1) = 0. Прибавляем 0 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 0 из Хij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

1 2 3 4 Запасы
1 15 13[0] 14[100] 10 100
2 54 8 7[100] 3[100] 200
3 10[100] 18[50] 54 12 150
4 0 0[50] 0 0 50
Потребности 100 100 200 100
Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ui, vj. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vj = cij, полагая, что u1 = 0.u1 + v2 = 13; 0 + v2 = 13; v2 = 13u3 + v2 = 18; 13 + u3 = 18; u3 = 5u3 + v1 = 10; 5 + v1 = 10; v1 = 5u4 + v2 = 0; 13 + u4 = 0; u4 = -13u1 + v3 = 14; 0 + v3 = 14; v3 = 14u2 + v3 = 7; 14 + u2 = 7; u2 = -7u2 + v4 = 3; -7 + v4 = 3; v4 = 10

v1=5 v2=13 v3=14 v4=10
u1=0 15 13[0] 14[100] 10
u2=-7 54 8 7[100] 3[100]
u3=5 10[100] 18[50] 54 12
u4=-13 0 0[50] 0 0
Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых ui + vj > cij(3;4): 5 + 10 > 12; ∆34 = 5 + 10 — 12 = 3(4;3): -13 + 14 > 0; ∆43 = -13 + 14 — 0 = 1max(3,1) = 3Выбираем максимальную оценку свободной клетки (3;4): 12Для этого в перспективную клетку (3;4) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

1 2 3 4 Запасы
1 15 13[0][+] 14[100][-] 10 100
2 54 8 7[100][+] 3[100][-] 200
3 10[100] 18[50][-] 54 12[+] 150
4 0 0[50] 0 0 50
Потребности 100 100 200 100
Цикл приведен в таблице (3,4 → 3,2 → 1,2 → 1,3 → 2,3 → 2,4).Из грузов хij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (3, 2) = 50. Прибавляем 50 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 50 из Хij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

1 2 3 4 Запасы
1 15 13[50] 14[50] 10 100
2 54 8 7[150] 3[50] 200
3 10[100] 18 54 12[50] 150
4 0 0[50] 0 0 50
Потребности 100 100 200 100
Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ui, vj. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vj = cij, полагая, что u1 = 0.u1 + v2 = 13; 0 + v2 = 13; v2 = 13u4 + v2 = 0; 13 + u4 = 0; u4 = -13u1 + v3 = 14; 0 + v3 = 14; v3 = 14u2 + v3 = 7; 14 + u2 = 7; u2 = -7u2 + v4 = 3; -7 + v4 = 3; v4 = 10u3 + v4 = 12; 10 + u3 = 12; u3 = 2u3 + v1 = 10; 2 + v1 = 10; v1 = 8

v1=8 v2=13 v3=14 v4=10
u1=0 15 13[50] 14[50] 10
u2=-7 54 8 7[150] 3[50]
u3=2 10[100] 18 54 12[50]
u4=-13 0 0[50] 0 0
Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых ui + vj > cij(4;3): -13 + 14 > 0; ∆43 = -13 + 14 — 0 = 1Выбираем максимальную оценку свободной клетки (4;3): 0Для этого в перспективную клетку (4;3) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

1 2 3 4 Запасы
1 15 13[50][+] 14[50][-] 10 100
2 54 8 7[150] 3[50] 200
3 10[100] 18 54 12[50] 150
4 0 0[50][-] 0[+] 0 50
Потребности 100 100 200 100
Цикл приведен в таблице (4,3 → 4,2 → 1,2 → 1,3).Из грузов хij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (4, 2) = 50. Прибавляем 50 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 50 из Хij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

1 2 3 4 Запасы
1 15 13[100] 14[0] 10 100
2 54 8 7[150] 3[50] 200
3 10[100] 18 54 12[50] 150
4 0 0 0[50] 0 50
Потребности 100 100 200 100
Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ui, vj. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vj = cij, полагая, что u1 = 0.u1 + v2 = 13; 0 + v2 = 13; v2 = 13u1 + v3 = 14; 0 + v3 = 14; v3 = 14u2 + v3 = 7; 14 + u2 = 7; u2 = -7u2 + v4 = 3; -7 + v4 = 3; v4 = 10u3 + v4 = 12; 10 + u3 = 12; u3 = 2u3 + v1 = 10; 2 + v1 = 10; v1 = 8u4 + v3 = 0; 14 + u4 = 0; u4 = -14

v1=8 v2=13 v3=14 v4=10
u1=0 15 13[100] 14[0] 10
u2=-7 54 8 7[150] 3[50]
u3=2 10[100] 18 54 12[50]
u4=-14 0 0 0[50] 0
Опорный план является оптимальным, так все оценки свободных клеток удовлетворяют условию ui + vj ≤ cij.Минимальные затраты составят: F(x) = 13*100 + 7*150 + 3*50 + 10*100 + 12*50 + 0*50 = 4100 Анализ оптимального плана.Из 1-го склада необходимо весь груз направить в 2-й магазинИз 2-го склада необходимо груз направить в 3-й магазин (150), в 4-й магазин (50)Из 3-го склада необходимо груз направить в 1-й магазин (100), в 4-й магазин (50)

3 4 Запасы 1 15 13 14 10 100 2 — 8 7 3 200 3 10 18 — 12 150 Потребности 100 100 200 100 Поскольку в матрице присутствуют запрещенные к размещению кле