2) На стол брошены две игральные кости. Какие из перечисленных событий равновозможны? а) А и В, б) А и С, в) А и D, г) В и С, если событие А- на костях выпало одинаковое число очков; В – число очков, выпавших на одной из костей, в три раза больше, чем на другой; С – сумма очков, выпавших на костях равна семи, D- сумма очков, выпавших на костях, равна восьми.
Решение:
Подсчитаем количество благоприятных исходов для событий A – D.
Событие А: комбинации вида 1+1, …, 6+6, mA= 6*1 = 6 (на одной кости может выпасть любое число, а на второй – только то, что выпало на первой).
Событие B: комбинации 1+3, 2+6, mB = 4*1 = 4 (на одной из костей может выпасть любое из чисел 1, 2, 3, 6, а на второй – необходимое для соответствия первому числу).
Событие С: комбинации 1+6, 2+5, 3+4, mC=6*1 (на одной кости может выпасть любое число, а на второй – число, необходимое для набора суммы 7).
Событие D: комбинации 2+6, 3+5, 4+4, mD=5*1=5 (на одной кости может выпасть любое число из диапазона 2-6, а на второй – число, необходимое для набора суммы 8).
Т.к. среди всех рассмотренных событий только у событий А и С одинаковое число благоприятных исходов, то равновозможны только события б) А и С, тогда как а), в) и г) – разновероятны.

3) Окружность шестью точками разделена на шесть непересекающихся дуг. Из них случайным образом выбрали две. Какова вероятность, что они имеют общую граничную точку?
Решение:
Всего вариантов выбора двух дуг равно числу сочетаний из 6 по 2 дуги.
Количество же вариантов, при котором дуги имеют общую точку (т.е. выбраны соседние дуги – 1 и 2, 2 и 3, …, 6 и 1) m = 6.
Поэтому искомая вероятность равна:
PA=mn=6C62=66!2!6-2!=0,4
1. Сколько среди разных «слов», которые можно образовать из всех букв слова ГИПЕРБОЛА, таких, в которых буквы Г и И стоят рядом? То же, если стоят на втором и пятом местах?
Решение:
Вычислим сначала количество позиций в слове, которые могут занимать буквы Г и И, если они рядом. Если буква Г занимает место в слове со 2 по 8, то буква И может занимать любую из двух позиций рядом. Если же буква Г занимаем крайние позиции (1 и 9), то буква И может занять только одну позицию. Поэтому всего позиций: 7*2 + 2*1=16. Остальные же 7 букв могут стоять в любом порядке, и всего таких расстановок (поскольку все буквы разные) 7! Поэтому всего разных слов, в которых буквы Г и И стоят рядом:
n=16*7!=80640
Если же буквы Г и И стоят на втором и пятом местах (т.е. количество разных позиций для двух букв равно 2!), то разных слов:
n=2!*7!=10080

2. На пяти одинаковых карточках написаны буквы, составляющие слово КОНУС. Из них случайным образом без возвращения извлекаются две карточки. В условиях этого опыта рассматриваются четыре события: А – обе буквы гласные; В – одна буква гласная, а другая согласная; С – обе буквы согласные; D – одна буква согласная, а другая «о». Какие из перечисленных ниже пар событий составлены из равновозможных событий: а) А и В, б) В и D, в) В и С, г) С и D.
Решение:
Подсчитаем количество благоприятных исходов для событий A – D.
Событие А: число благоприятных исходов равно числу сочетаний из 2 по 2 карточки с гласными буквами:
mA=C22=1
Событие В: число благоприятных исходов равно произведению числа сочетаний из 2 по 1 карточке с гласными буквами и числа сочетаний из 3 по 1 карточке с согласными буквами:
mB=C21*C31=2*3=6
Событие C: число благоприятных исходов равно числу сочетаний из 3 по 2 карточки с согласными буквами:
mС=C32=3
Событие D: число благоприятных исходов равно произведению числа сочетаний из 3 по 1 карточке с согласными буквами и числа сочетаний из 1 по 1 карточке с буквой «О»:
mD=C31*C11=3*1=3
Т.к. среди всех рассмотренных событий только у событий C и D одинаковое число благоприятных исходов, то равновозможны только события г) C и D, тогда как а), б) и в) – разновероятны.

3. На шахматной доске случайным образом выбраны две клетки. Какова вероятность, что они не принадлежат ни общей горизонтали, ни общей вертикали?
Решение:
Число всех способов выбора двух клеток на шахматной доске равно числу размещений из 64 по 2 клетки:
n=A642=64!64-2!=4032
Число же благоприятных способов выбора двух клеток равно:
m=64*(64 – 15) = 64*49=3136
(первая клетка может быть любой, а для второй из общего количества в 64 клетки вычитаем 15 клеток, расположенных на одной горизонтали или вертикали с первой выбранной клеткой). Поэтому искомая вероятность равна:
PA=mn=31364032=79

4. Имеется 50 деформированных монет. Для 25 из них вероятность выпадения герба равна 0,3; для 15 – равна 0,4, для остальных – равна 0,7. Случайным образом выбранная монета при подбрасывании упала вверх гербом. Какова вероятность того, что эта монета принадлежит к третьей группе монет, для которых вероятность выпадения герба равна 0,7?
Решение:
Вероятности того, что случайно выбранная монета принадлежит к соответствующей группе деформированных монет, равны:
PH1=2550=0,5;PH2=1550=0,3;PH3=50-25-1550=0,2
Вычислим вероятность того, что подброшенная монета упадет вверх гербом по формуле полной вероятности:
PA=iPHi*PAHi=0,5*0,3+0,3*0,4+0,2*0,7=0,41
Искомую вероятность найдём по формуле Байеса:
PH3A=PH3*PAH3P(A)=0,2*0,70,41≈0,34

5. В горном районе создано 8 сейсмических станций. Каждая станция в течении года может выйти из строя с вероятностью 0,12. Какова вероятность того, что в течении года потребуют ремонта не более двух станций?
Решение:
Искомое событие представим суммой событий «в течении года потребуют ремонта 2 станции», «в течении года потребует ремонта 1 станция», «в течении года ни одна станция не потребует ремонта». Вероятность каждого из слагаемых событий вычислим по формуле Бернулли, т.к. станции выходят из строя независимо друг от друга. Поэтому искомая вероятность равна:
PA≤2=C82*p2*1-p6+C81*p1*1-p7+C80*p0*1-p8
PA≤2=8!2!8-2!*0,122*0,886+8*0,12*0,887+1*1*0,888≈0,94

6. Игральную кость бросили на стол 1200 раз. Какова вероятность того, что фактическое количество выпадений этой грани отклонится от теоретической не более, чем на 10 процентов?
Решение:
Под «этой гранью», видимо, имеется в виду одна из шести граней игральной кости, поэтому вероятность выпадения этой грани при одном броске игральной кости равна p=1/6. Т.е., в 1200 бросках теоретическое количество выпадений грани равно 1200*1/6=200, а 10% от теоретического количества составит 200*10/100 = 20 выпадений.
Тогда искомую вероятность найдем, воспользовавшись интегральной теоремой Муавра-Лапласа:
Pnp-m≤20=2Ф20npq, Фx-функция Лапласа
Подставляем:
Pnp-m≤20=2Ф201200*16*1-16 =2Ф1,55=2*0,4394=0,8788

2) На стол брошены две игральные кости Какие из перечисленных событий равновозможны