2) Имеются 12 единиц товара в одинаковых упаковках. Известно, что в четырех из них товар первого сорта. Случайным образом отбирают 3 единицы товара. Вычислить вероятность того, что среди них:
а) только упаковки с товаром первого сорта;
б) ровно одна упаковка с товаром первого сорта.
а) Вычислим вероятность того, что среди трех отобранных упаковок только упаковки с товаром первого сорта, т.е. все три с товаром первого сорта.
Изобразим ситуацию на схеме

Число всех случаев отбора 3 упаковок из общего числа 12 упаковок равно числу сочетаний из 12 по 3, т.е. ,
Число случаев отбора 3 упаковок с товаром первого сорта из общего числа 4 упаковок с товаром первого сорта равно
По формуле для расчета вероятности события в классической модели вероятность получения в выборке 3 упаковок с товаром первого сорта равна:

где число исходов, благоприятствующих наступлению интересующего нас события,
общее число всех единственно возможных, равновозможных и несовместных исходов
Число сочетаний рассчитаем по формуле ,
где n факториал равен n! =1*2*..*n,

Ответ:1/55 (или 0,018)

б) Вычислим вероятность того, что среди трех отобранных упаковок только одна упаковка с товаром первого сорта, т.е. одна с товаром первого сорта и две упаковки с товаром не первого сорта
Изобразим ситуацию на схеме

Число всех случаев отбора 3 упаковок из общего числа 12 упаковок равно числу сочетаний из 12 по 3, т.е. ,
Число случаев отбора 1 упаковки с товаром первого сорта из общего числа 4 упаковок с товаром первого сорта (и значит 2 упаковок, с товаром не первого сорта, из общего числа 8 упаковок с товаром не первого сорта) равно произведению , так как отбор каждой из упаковок с товаром первого сорта может сочетаться с отбором любой из 2 упаковок с товаром не первого сорта.

По формуле для расчета вероятности события в классической модели вероятность получения в выборке только одной упаковки с товаром первого сорта равна:

где число исходов, благоприятствующих наступлению интересующего нас события,
общее число всех единственно возможных, равновозможных и несовместных исходов

Ответ:28/55 (или 0,51)

Тема 3. Операции над событиями. Условная вероятность.
Теоремы сложения и умножения вероятностей.

Для охраны банка созданы три независимо работающие системы безопасности, вероятности отказа которых равны соответственно 0,05, 0,02 и 0,01. Какова вероятность того, что в случае несанкционированного проникновения в банк сработает хотя бы одна система безопасности?

Введем следующие события:
={первая система отказала},
={ вторая система отказала},
={ третья система отказала},
Вероятности этих событий, т.е вероятности отказа, заданы:

Противоположным событием к событию «в случае несанкционированного проникновения в банк сработает хотя бы одна система безопасности» является событие «в случае несанкционированного проникновения в банк все системы откажут»
Так как сумма вероятностей противоположных событий равна 1, то тогда
P(сработает хотя бы одна система безопасности)=1-P (все три системы откажут)=

(вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей)
Ответ: 0,9999

Тема 4. Формула полной вероятности. Формула Бейеса.

Из изделий высокого качества собирается 60% всех телевизоров, при этом вероятность благополучной эксплуатации телевизора в течении года равна 0,95. Для телевизора, собранного из обычных деталей, эта вероятность – 0,7. Найти вероятность того, что проработавший телевизор собран из деталей высокого качества.

Определим события:
А={ Телевизор благополучно эксплуатировался в течении года},

Событие А может произойти только вместе с одной из гипотез
H1={Телевизор был собран из изделий высокого качества}
H2 = {Телевизор был собран из изделий обычного качества}

События H1, H2 образуют полную группу событий .

По условию известны вероятности гипотез
P(H1)=0,6 P(H2)=1-0,6=0,4
Условные вероятности гипотез также известны
P(А/H1)=0,95 P(А/H2)=0,7

Требуется найти уточненную (послеопытную) вероятность первой гипотезы, т.е. необходимо найти вероятность того, что телевизор благополучно эксплуатировался в течении года, при условии, что он был собран из деталей высокого качества.
Используя формулу Байеса

подставим заданные значения вероятностей.

Ответ: вероятность того, что проработавший телевизор собран из деталей высокого качества равна 0,67

Тема 5. Формула Бернулли. Теорема Пуассона.
Локальная и интегральные теоремы Лапласа.

Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена: а) 75 раз; б) от 75 до 84 раз; в) менее 75 раз; г) не менее 70 раз.

Дано: n =100, р=0,8
Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8, следовательно,
вероятность непопадания в мишень при одном выстреле равна q =1-0,8=0,2

а) найдем вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена 75 раз

Так как n =100 достаточно велико, то применяем локальную формулу Муавра-Лапласа

Функция f(х) является четной, т. е. f (-х) = f (х), поэтому
f (-1,25) = f (1,25)
(Значение f (1,25) находим из таблицы значений функции )

Локальная теорема Муавра — Лапласа. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, а число испытаний достаточно велико, то вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А наступит m раз, приближенно равна:
.
где функция f(x) определяется равенством:
.
Формула называется формулой Муавра — Лапласа. С возрастанием n относительная точность значений вероятностей, получаемых по ней, возрастает. В этом и заключается содержание локальной теоремы Муавра — Лапласа.
Для упрощения расчетов, связанных с применением формулы, составлена таблица значений функции f(x). Пользуясь этой таблицей, необходимо иметь в виду свойства функции, а именно:
1. Функция f(х) является четной, т. е. f (-х) = f (х). Поэтому в таблице приведены значения функции лишь для положительных значений аргумента.
2. Функция f(х) — монотонно убывающая при положительных значениях х. Предел f(х) при равен нулю.
3. Если х > 5, то можно считать, что . Функция f(х) уже при х = 5 очень мала: f(5)=0,0000015. Поэтому таблица значений функции f(х) не продолжена для значений х > 5.

б) найдем вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена от 75 до 84 раз
Так как n =100 достаточно велико, то применяем интегральную формулу Муавра-Лапласа
, где значения протабулированы.

По условию n =100, р=0,8, q =0,2, а=75, b=84
Найдем

По таблице значений функции Лапласа находим значения, при этом используем свойство: функция Ф(х) нечетная, т. е. Ф (-х) = — Ф(х).

Следующие вероятности также найдем по интегральной теореме Муавра-Лапласа

в) найдем вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена менее 75 раз, т.е от 0 до 74 раз включительно

По условию n =100, р=0,8 , q =0,2, а=0, b=74
Найдем

По таблице значений функции Лапласа находим значения, при этом используем свойство — функция Ф(х) нечетная, т. е. Ф (-х) = — Ф(х). Для всех значений х > 5 можно считать, что .

г) найдем вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена не менее 70 раз, т.е. 70 раз и более (до 100)
По условию n =100, р=0,8 , q =0,2, а=70, b=100
Найдем

По таблице значений функции Лапласа находим значения, при этом используем свойство: функция Ф(х) нечетная, т. е. Ф (-х) = — Ф(х). Для всех значений х > 5 можно считать, что .

Интегральная теорема Муавра – Лапласа. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, а число испытаний достаточно велико, то вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А состоится число раз, заключенное в границах от а до b включительно (а < b), приближенно равна:
,
где функция Ф (х) определяется равенством
,

Формула называется интегральной формулой Муавра— Лапласа. Получаемые по интегральной и локальной формулам Муавра — Лапласа вероятности достаточно точны, если произведение nр составляет несколько сотен. В задачах, не требующих большой точности ответа, можно пользоваться этими формулами и в случаях, когда произведение np имеет небольшое значение, однако не меньшее 20.
Функция Ф(х), которая определена равенством, указанным выше, табулирована. Чтобы успешно пользоваться этой таблицей, необходимо знать свойства функции Ф(х). Рассмотрим их.
Функция Ф(х) нечетная, т. е. Ф (—х) = — Ф(х).
Функция Ф(х) монотонно возрастающая.
Для всех значений х > 5 можно считать, что .

Тема 6. Дискретная случайная величина. Функция и характеристики ее распределения
Задан закон распределения ДСВ X
0)
xi -2 -1 0 1 2 3 4
pi 0,01 p 0,23 0,28 0,19 0,11 0,06

Найти:
а) неизвестную вероятность р;
б) математическое ожидание М, дисперсию D и среднее квадратическое отклонение случайной величины;
в) функцию распределения F(x) и построить её график;
г) закон распределения случайной величины Y, если её значения

2) Имеются 12 единиц товара в одинаковых упаковках Известно