1.Решить следующие задачи в предположении, что поток поступающих заявок является простейшим и длительность обслуживания одной заявки распределена по показательному закону.
Дежурный по администрации города имеет пять телефонов. Телефонные звонки поступают с интенсивностью 90 заявок в час, средняя продолжительность разговора составляет 2 мин.
Определить показатели дежурного администратора как объекта СМО.

Решение:
Интенсивность потока обслуживания:
μ = 60/2 = 30
1. Интенсивность нагрузки.
ρ = λ • tобс = 90 • 2/60 = 3
Интенсивность нагрузки ρ=3 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания.
3. Вероятность, что канал свободен (доля времени простоя каналов).

Следовательно, 5,4% в течение часа канал будет не занят, время простоя равно tпр = 3,2 мин.
Вероятность того, что обслуживанием:
занят 1 канал:
p1 = ρ1/1! p0 = 31/1! • 0.054 = 0.162
заняты 2 канала:
p2 = ρ2/2! p0 = 32/2! • 0.054 = 0.243
заняты 3 канала:
p3 = ρ3/3! p0 = 33/3! • 0.054 = 0.243
заняты 4 канала:
p4 = ρ4/4! p0 = 34/4! • 0.054 = 0.182
заняты 5 канала:
p5 = ρ5/5! p0 = 35/5! • 0.054 = 0.109
4. Доля заявок, получивших отказ.

Значит, 10,9% из числа поступивших заявок не принимаются к обслуживанию.
5. Вероятность обслуживания поступающих заявок.
В системах с отказами события отказа и обслуживания составляют полную группу событий, поэтому:
pотк + pобс = 1
Относительная пропускная способность: Q = pобс.
pобс = 1 — pотк = 1 — 0.109 = 0.891
Следовательно, 89,1% из числа поступивших заявок будут обслужены. Приемлемый уровень обслуживания должен быть выше 90%.
6. Среднее число каналов, занятых обслуживанием.
nз = ρ • pобс = 3 • 0.891 = 2,67 канала.
Среднее число простаивающих каналов.
nпр = n — nз = 5 — 2,67 = 2,33 канала.
7. Коэффициент занятости каналов обслуживанием.
Кз = nз / т = 2,67 / 5 = 0,53
Следовательно, система на 53% занята обслуживанием.
8. Абсолютная пропускная способность.
A = pобс • λ = 0.891 • 30 = 26,73 заявок/час.
9. Среднее время простоя СМО.
tпр = pотк • tобс = 0.109 • 0.033 = 0.0036 час.
12. Среднее число обслуживаемых заявок.
Lобс = ρ • Q = 3 • 0.891 = 2,67 ед.
Число заявок, получивших отказ в течение часа: λ • p1 = 30*0,162=4,86 заявок в час.
Номинальная производительность СМО: 5 / 0.033 = 152 заявки в час.
Фактическая производительность СМО: 26,73 / 152 = 17,6% от номинальной производительности.

2.На стоянке автомобилей возле магазина имеются 3 места, каж-
дое из которых отводится под один автомобиль. Автомобили прибы-
вают на стоянку с интенсивностью 20 автомобилей в час. Продолжи-
тельность пребывания автомобилей на стоянке составляет в среднем
15 мин. Стоянка на проезжей части не разрешается.
Определить среднее количество мест, не занятых автомобилями, и вероятность того, что прибывший автомобиль не найдет на стоянке свободного места.

Решение:
Интенсивность потока обслуживания:
EQ μ = f(60;15) = 4
1. Интенсивность нагрузки.
ρ = λ • tобс = 20 • 15/60 = 5
Интенсивность нагрузки ρ=5 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания.
3. Вероятность, что канал свободен (доля времени простоя каналов).
EQ p0 = f(1;∑f(ρk;k!)) = f(1;f(50;0!) + f(51;1!) + f(52;2!) + f(53;3!) ) = 0.0254
Следовательно, 2.54% в течение часа канал будет не занят, время простоя равно tпр = 1.5 мин.
4. Вероятность отказа (Доля заявок, получивших отказ).
EQ pотк = f(ρn;n!) p0 = f(53;3!)0.0254 = 0.53
Значит, 53% из числа поступивших заявок не принимаются к обслуживанию.
6. Среднее число мест, занятых автомобилями (Среднее число занятых мест).
nз = ρ • pобс = 5 • 0.47 = 2.352 мест.
Среднее число свободных мест.
nпр = n — nз = 3 — 2.352 = 0.6 мест.

3.АТС предприятия обеспечивает не более 5 переговоров одно-
временно. Средняя продолжительность разговоров составляет 1 мин.
На станцию поступает в среднем 10 вызовов в сек.
Определить характеристики АТС как объекта СМО.

Решение:
Интенсивность потока обслуживания:
EQ μ = f(1;1) = 1
1. Интенсивность нагрузки.
ρ = λ • tобс = 600 • 1 = 600
Интенсивность нагрузки ρ=600 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания.
3. Вероятность, что канал свободен (доля времени простоя каналов).
EQ p0 = f(1;∑f(ρk;k!)) = f(1;f(6000;0!) + f(6001;1!) + f(6002;2!) + f(6003;3!) + f(6004;4!) + f(6005;5!) ) = 0
Следовательно, 0% в течение часа канал будет не занят, время простоя равно tпр = 0 мин.
Вероятность того, что обслуживанием:
занят 1 канал:
p1 = ρ1/1! p0 = 6001/1! • 0 = 0
заняты 2 канала:
p2 = ρ2/2! p0 = 6002/2! • 0 = 0
заняты 3 канала:
p3 = ρ3/3! p0 = 6003/3! • 0 = 0
заняты 4 канала:
p4 = ρ4/4! p0 = 6004/4! • 0 = 0
заняты 5 канала:
p5 = ρ5/5! p0 = 6005/5! • 0 = 0
4. Вероятность отказа (Доля заявок, получивших отказ).
EQ pотк = f(ρn;n!) p0 = f(6005;5!)0 = 0
Заявки не получают отказ. Обслуживаются все поступившие заявки.
5. Вероятность обслуживания поступающих заявок (вероятность того, что клиент будет обслужен).
В системах с отказами события отказа и обслуживания составляют полную группу событий, поэтому: pотк + pобс = 1
Относительная пропускная способность: Q = pобс.
pобс = 1 — pотк = 1 — 0 = 1
Следовательно, 100% из числа поступивших заявок будут обслужены. Приемлемый уровень обслуживания должен быть выше 90%.
6. Среднее число каналов, занятых обслуживанием (Среднее число занятых каналов).
nз = ρ • pобс = 600 • 1 = 600 канала.
Среднее число простаивающих каналов.
nпр = n — nз = 5 — 600 = -595 канала.
7. Коэффициент занятости каналов обслуживанием.
EQ K3 = f(n3;n) = f(600;5) = 120
Следовательно, система на 12000% занята обслуживанием.
8. Абсолютная пропускная способность (Интенсивность выходящего потока обслуженных заявок).
A = pобс • λ = 1 • 600 = 600 заявок/мин.
9. Среднее время простоя СМО.
tпр = pотк • tобс = 0 • 1 = 0 мин.
12. Среднее число обслуживаемых заявок.
Lобс = ρ • Q = 600 • 1 = 600 ед.
14. Среднее время пребывания заявки в СМО (формула Литтла).
EQ TCMO = f(Q;μ) = f(1;1) = 1 мин.
Число заявок, получивших отказ в течение часа: λ • p1 = 0 заявок в мин.
Номинальная производительность СМО: 5 / 1 = 5 заявок в мин.
Фактическая производительность СМО: 600 / 5 = 12000% от номинальной производительности.

4.В грузовой речной порт поступает в среднем 6 сухогрузов в су-
тки. В порту имеются 3 крана, каждый из которых обслуживает 1 су-
хогруз в среднем за 8 ч. Краны работают круглосуточно.
Определить характеристики работы порта как объекта СМО и в случае необходимости дать рекомендации по улучшению его работы.

Решение:
Исчисляем показатели обслуживания многоканальной СМО:
Переводим интенсивность потока заявок в часы: λ = 6/24 = 0.25
Интенсивность потока обслуживания:
EQ μ = f(1;8) = 0.125
1. Интенсивность нагрузки.
ρ = λ • tобс = 0.25 • 8 = 2
Интенсивность нагрузки ρ=2 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания.
Поскольку 2<3, то процесс обслуживания будет стабилен.
3. Вероятность, что канал свободен (доля времени простоя каналов).
EQ p0 = f(1;∑f(ρk;k!) + f(ρn+1;n!(n — ρ))) = f(1;f(20;0!) + f(21;1!) + f(22;2!) + f(23;3!) + f(23+1;3!(3 — 2))) = 0.111
Следовательно, 11.1% в течение часа канал будет не занят, время простоя равно tпр = 6.7 мин.
4. Вероятность отказа (Доля заявок, получивших отказ).
Поскольку отказ в обслуживании в таких системах не может быть, то pотк = 0
5. Вероятность обслуживания поступающих заявок (вероятность того, что клиент будет обслужен).
Относительная пропускная способность: Q = pобс = 1.
6. Среднее число каналов, занятых обслуживанием (Среднее число занятых каналов).
nз = ρ = 2 канала.
Среднее число простаивающих каналов.
nпр = n — nз = 3 — 2 = 1 канала.
7. Коэффициент занятости каналов обслуживанием.
EQ K3 = f(n3;n) = f(2;3) = 0.7
Следовательно, система на 70% занята обслуживанием.
8. Абсолютная пропускная способность (Интенсивность выходящего потока обслуженных заявок).
A = λ = 0.25 заявок/час.
9. Среднее время простоя СМО.
tпр = pотк • tобс = 0 • 8 = 0 час.
Вероятность образования очереди.
EQ pоч = f(ρn+1;n!(n-ρ)) p0
EQ pоч = f(23+1;3!(3-2)) 0.111 = 0.296
Вероятность отсутствия очереди.
p = 1 — pоч = 1 — 0.296 = 0.704
Вероятность того, что придется ждать начала обслуживания равна вероятности того, что все каналы заняты:
EQ π = f(n2;(n-1)!(n-ρ))p0 = f(32;(3-1)!(3-2))0.111 = 0.444
10. Среднее число заявок, находящихся в очереди.
EQ Lоч = f(n;n-ρ) pоч
EQ Lоч = f(3;3-2) 0.296 = 0.889 ед.
11. Среднее время простоя СМО (среднее время ожидания обслуживания заявки в очереди).
EQ Tоч = f(Lоч;A) = f(0.889;0.25) = 3.55 час.
12. Среднее число обслуживаемых заявок.
Lоб = ρ = 2
13. Среднее число заявок в системе.
LCMO = Lоч + Lобс = 0.889 + 2 = 2.889 ед.
14. Среднее время пребывания заявки в СМО.
EQ TCMO = f(LCMO;A) = f(2.889;0.25) = 11.556 час.
Число заявок, получивших отказ в течение часа: λ • p1 = 0 заявок в час.
Номинальная производительность СМО: 3 / 8 = 0.375 заявок в час.
Фактическая производительность СМО: 0.25 / 0.375 = 67% от номинальной производительности.

5.В службе «Скорой помощи», поселка круглосуточно дежурят 3
диспетчера, обслуживающие 3 телефонных аппарата. Если заявка на
вызов врача к больному поступает, когда диспетчеры заняты, то або-
нент получает отказ. Поток заявок составляет 4 вызова в минуту.
Оформление заявки длится в среднем 1,5 мин.
Определить основные показатели работы службы «Скорой помощи» как объекта СМО и рассчитать, сколько потребуется телефонных аппаратов, чтобы удовлетворить не менее 90% поступающих вызовов врачей.

Решение:
Исчисляем показатели обслуживания многоканальной СМО:
Интенсивность потока обслуживания:
EQ μ = f(1;1.5) = 0.667
1. Интенсивность нагрузки.
ρ = λ • tобс = 4 • 1.5 = 6
Интенсивность нагрузки ρ=6 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания.
3. Вероятность, что канал свободен (доля времени простоя каналов).
EQ p0 = f(1;∑f(ρk;k!)) = f(1;f(60;0!) + f(61;1!) + f(62;2!) + f(63;3!) ) = 0.0164
Следовательно, 1.64% в течение часа канал будет не занят, время простоя равно tпр = 1 мин.
Вероятность того, что обслуживанием:
занят 1 канал:
p1 = ρ1/1! p0 = 61/1! • 0.0164 = 0.0984
заняты 2 канала:
p2 = ρ2/2! p0 = 62/2! • 0.0164 = 0.295
заняты 3 канала:
p3 = ρ3/3! p0 = 63/3! • 0.0164 = 0.59
4. Вероятность отказа (Доля заявок, получивших отказ).
EQ pотк = f(ρn;n!) p0 = f(63;3!)0.0164 = 0.59
Значит, 59% из числа поступивших заявок не принимаются к обслуживанию.
5. Вероятность обслуживания поступающих заявок (вероятность того, что клиент будет обслужен).
В системах с отказами события отказа и обслуживания составляют полную группу событий, поэтому: pотк + pобс = 1
Относительная пропускная способность: Q = pобс.
pобс = 1 — pотк = 1 — 0.59 = 0.41
Следовательно, 41% из числа поступивших заявок будут обслужены. Приемлемый уровень обслуживания должен быть выше 90%.
6. Среднее число каналов, занятых обслуживанием (Среднее число занятых каналов).
nз = ρ • pобс = 6 • 0.41 = 2.459 канала.
Среднее число простаивающих каналов.
nпр = n — nз = 3 — 2.459 = 0.5 канала.
7. Коэффициент занятости каналов обслуживанием.
EQ K3 = f(n3;n) = f(2.459;3) = 0.8
Следовательно, система на 80% занята обслуживанием.
8. Абсолютная пропускная способность (Интенсивность выходящего потока обслуженных заявок).
A = pобс • λ = 0.41 • 4 = 1.639 заявок/мин.
9. Среднее время простоя СМО.
tпр = pотк • tобс = 0.59 • 1.5 = 0.885 мин.
12. Среднее число обслуживаемых заявок.
Lобс = ρ • Q = 6 • 0.41 = 2.459 ед.
14. Среднее время пребывания заявки в СМО (формула Литтла).
EQ TCMO = f(Q;μ) = f(0.41;0.667) = 0.615 мин.
Число заявок, получивших отказ в течение часа: λ • p1 = 2.36 заявок в мин.
Номинальная производительность СМО: 3 / 1.5 = 2 заявок в мин.
Фактическая производительность СМО: 1.639 / 2 = 82% от номинальной производительности.
15. Количество телефонных аппаратов, чтобы удовлетворить не менее 90% поступающих вызовов врачей. Вероятность отказа (Доля заявок, получивших отказ) = 10%.

Методом подбора: n=5.
Количество телефонных аппаратов, необходимое для удовлетворения не менее 90% поступающих вызовов врачей, составляет 5 единиц.

1 Решить следующие задачи в предположении что поток поступающих заявок является простейшим и длительность обслуживания одной заявки распределена по