1. Для одного рабочего вероятность выполнения нормы выработки равна 0,9; для другого – 0,85. Определить вероятность того, что оба рабочих не выполнят норму.

Решение:

По условию задачи:
PA1=0,9- вероятность того, что первый рабочий выполнит норму;
PA2=0,85- вероятность того, что второй рабочий выполнит норму.
Тогда
PA1=1-PA1=1-0,9=0,1- вероятность того, что первый рабочий не выполнит норму;
PA2=1-PA2=1-0,85=0,15- вероятность того, что второй рабочий не выполнит норму.
Определим PA- вероятность того, что оба рабочих не выполнят норму, используя теорему умножения вероятностей:
PA=PA1∙A2=PA1∙PA2=0,1∙0,15=0,015.

Ответ: PA=0,015.

2. На сборку поступают однотипные изделия из трёх цехов. Вероятности брака в каждом из цехов соответственно равны 4%, 2% и 6%. Первый цех поставляет 100, второй 50, а третий 150 изделий. Наудачу взятое изделие оказалось стандартным. Какова вероятность того, что оно поступило из третьего цеха.

Решение:

Введем гипотезы:
H1 – изделие поступило из первого цеха;
H2 – изделие поступило из второго цеха;
H3 – изделие поступило из третьего цеха.

Вычислим соответствующие вероятности, используя классическую формулу вероятности:
PH1=100100+50+150=13;
PH2=50100+50+150=16;
PH3=150100+50+150=12.
Условные вероятности события A = {изделие окажется стандартным} при сделанных гипотезах соответственно равны:
PAH1=1-0,04=0,96;
PAH2=1-0,02=0,98;
PAH3=1-0,06=0,94.
Для решения задачи будем использовать формулу Байеса:
PHiA=P(Hi)∙PAHiPH1∙PAH1+PH2∙PAH2+…+PHi∙PAHi.
Вероятность того, что наудачу взятое изделие, оказавшееся стандартным, поставлено третьим цехом:
PH3A=P(H3)∙PAH3PH1∙PAH1+PH2∙PAH2+PH3∙PAH3=12∙0,9413∙0,96+16∙0,98+12∙0,94=0,470,95≈0,49.

Ответ: PH3A=0,49.

3. Опыт состоит из пяти независимых подбрасываний монеты. Построить ряд распределения для числа случайного появления орла. Построить функцию распределения, найти математическое ожидание и дисперсию.

Решение:

Случайная величина Х может принимать значения 0, 1, 2, 3, 4, 5. Соответствующие им вероятности найдем, воспользовавшись формулой Бернулли:
PX=n=Cnkpkqn-k .
Вероятность появления орла при каждом подбрасывании монеты равна 0,5.
При n=5, q=0,5, p=1 – 0,5 =0,5, k=0, 1, 2, 3, 4, 5 имеем:
PX=0=C50p0q5-0 =5!0!∙5!∙0,50∙0,55=1∙1∙0,03125=0,03125;
PX=1=C51p1q5-1 =5!1!∙4!∙0,51∙0,54=5∙0,5∙0,0625=0,15625;
PX=2=C52p2q5-2 =5!2!∙3!∙0,52∙0,53=4∙52∙0,25∙0,125=0,3125;
PX=3=C53p3q5-3 =5!3!∙2!∙0,53∙0,52=4∙52∙0,125∙0,25=0,3125;
PX=4=C54p4q5-4 =5!4!∙1!∙0,54∙0,51=5∙0,0625∙0,5=0,15625;
PX=5=C55p5q5-5 =5!5!∙0!∙0,55∙0,50=1∙0,03125∙1=0,03125.

Составляем ряд распределения:

xi
0 1 2 3 4 5
pi
0,03125 0,15625 0,3125 0,3125 0,15625 0,03125

Контроль:
pi=0,03125+0,15625+0,3125+0,3125+0,15625+0,03125=1.
Составим функцию распределения и построим ее график:
Fx=0, x<0;0+0,03125=0,03125, 0≤x<1;0,03125+0,15625=0,1875, 1≤x<2;0,1875+0,3125=0,5, 2≤x<3;0,5+0,3125=0,8125, 3≤x<4;0,8125+0,15625=0,96875, 4≤x<5;0,96875+0,03125=1, x≥5.

Найдем математическое ожидание:
MX=xipi=0∙0,03125+1∙0,15625+2∙0,3125+3∙0,3125+4∙0,15625+
+5∙0,03125=2,5;

найдем дисперсию:
DX=MX2-MX2=xi2pi-MX2=02∙0,03125+12∙0,15625+22∙0,3125+32∙0,3125+42∙0,15625+52∙0,03125-2,52=1,25.

Ответ: MX=2,5; DX=1,25.

4. Задана функция плотности вероятности:
fx=a3x-x2, 0≤x≤3,0, x<0, x>3.
При каком значении параметра «a» эта функция является плотностью вероятности непрерывной случайной величины Х? Найти математическое ожидание M[x], дисперсию Dx; вероятность события P1≤x≤2.

Решение:

Найдем значение параметра α из условия нормировки
-∞+∞fxdx=1:
03a3x-x2dt=a033x-x2dt=a∙3×22-x3303=a∙3∙322-333=9a2=1,
Значит,
α=29.
Тогда функция плотности вероятности
fx=0, x<0,293x-x2, 0≤x≤3,0, x>3.

Находим математическое ожидание:
MX=-∞+∞x∙fxdx=03x∙293x-x2dx=29033×2-x3dx=29∙x3-x4403=2933-344=1,5.
Находим дисперсию:
DX=-∞+∞x2∙fxdx-MX2=03×2∙293x-x2dx-1,52=29033×3-x4dx-2,25=29∙3×44-x5503-2,25=293∙344-355-2,25=2,7-2,25=0,45.
Находим вероятность события P1≤x≤2:
P1≤x≤2=12293x-x2dx=29∙3×22-x3312=29∙3∙222-233-3∙122-133≈0,48.

Ответ: α=29; MX=1,5; DX=0,45; P1≤x≤2=0,48.

5. Рост взрослых мужчин является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием = 175 см и средним квадратическим отклонением = 6 см. Определить вероятность того, что хотя бы один из наудачу выбранных пяти мужчин будет иметь рост от 175 до 180 см.

Решение:

Найдем вероятность того, что рост мужчины будет принадлежать интервалу [175;180].
Используем формулу
Pα<X<β=Фβ-aσ-Фα-aσ,
по условию задачи a=175, σ=6.
P175<X<180=Ф180-1756-Ф175-1756=Ф0,83-Ф0,
по таблице значений функции Лапласа определяем:
Ф0,83=0,2967; Ф0=0,
тогда вероятность того, что рост мужчины будет принадлежать интервалу 175;180:
p=P175<X<180=0,2967+0=0,2967≈0,3.
Вероятность того, что рост мужчины не будет принадлежать интервалу 175;180:
q=1-p=1-0,3=0,7.
Событие {хотя бы один мужчина из пяти будет иметь рост от 175 до 180 см} обратно событию {ни один мужчина из пяти не будет иметь рост от 175 до 180 см}. Значит, его вероятность равна:
PA=1-q5=1-0,75≈0,83.

Ответ: PA=0,83.
6. Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний постоянна и равна 0,8. Найти вероятность того, что событие появится не менее 75 раз и не более 90 раз.

Решение:

Для нахождения вероятности P(75≤X≤90) применим интегральную теорему Лапласа:
Pk1≤X≤k2=Фk2-npnpq-Фk1-npnpq,
в нашем случае,
n=100, p=0,8, q=1-0,8=0,2, k1=75, k2=90.
Вычисляем:
P75≤X≤90=Ф90-100∙0,8100∙0,8∙0,2-Ф75-100∙0,8100∙0,8∙0,2=Ф104-Ф-54=Ф2,5-Ф-1,25.
Так как функция Лапласа нечетная, то
P75≤X≤30=Ф2,5+Ф1,25.
По таблице значений интегральной функции Лапласа находим:
Ф2,5=0,4938, Ф1,25=0,4332,
значит, искомая вероятность
P75<X<80=0,4938+0,4332=0,927.

Ответ: P75<X<80=0,927.

7. Из генеральной совокупности извлечена выборка с вариантами Xi и частотами ni. Найти статистические характеристики выборки, такие, как объём выборки, выборочную среднюю, выборочную дисперсию и выборочный стандарт.

Решение:

Объём выборки:
n=ni.

Выборочная средняя:
x=1nxini.
Выборочная дисперсия:D=1nxi-x2ni.
Выборочный стандарт (выборочное среднее квадратическое отклонение):
σ=D.

1 Для одного рабочего вероятность выполнения нормы выработки равна 0