1.86.
Обозначим события:
А – прибор выходит из строя при каждом испытании,
B – прибор окончательно выйдет из строя точно при четвертом испытании.
Существует 3 варианта развития, при котором прибор окончательно выйдет из строя точно при четвертом испытании:
Вышел из строя (ремонт) Не вышел из строя Не вышел из строя
Не вышел из строя Вышел из строя (ремонт) Не вышел из строя
Не вышел из строя Не вышел из строя Вышел из строя (ремонт)
Вышел из строя Вышел из строя Вышел из строя

Тогда Р(B) = P(A)*P(A)* P(A)* P(A)+ P(A)* P(A)* P(A)* P(A)+ P(A)* P(A)* P(A)* P(A) = 0,8*0,2*0,2*0,8+0,2*0,8*0,2*0,8+0,2*0,2*0,8*0,8 = 3*0,22*0,82 = 0,0768.
2.31.
А) Применяем следствие интегральной теоремы Муавра-Лапласа (npq = 0,9*0,1*900 = 81≥20) и границы симметричны относительно р:
Pn(mn-p≤Δ)≈ Ф(Δn/pq)
P900(|m/900-0,9| ≤ Δ) = Ф (Δ900/0,9*0,1)=0,9545
Использую табличное значение функции Лапласа, находим, что Ф(х) = 0,9545 при х = 2, значит Δ900/0,9*0,1 = 2, Δ = 2*0,3/30 = 0,02.
Значит с вероятностью 0,9545 границы (симметричные относительно р) , в которых заключена доля стандартных среди проверенных 900 деталей, следующие: р-Δ≤w≤ p+Δ; 0,9-0,02≤w≤0,9+0,02; 0,88≤w≤0,92.
Б) Применяем следствие интегральной теоремы Муавра-Лапласа (npq = 0,1*0,9*900 = 81≥20). Вероятность того, что деталь нестандартна, равна р = 1-0,9 = 0,1
Pn(α≤m/n≤β) ≈ 1/2[Ф(z2)-Ф(z1)], где z1 = (α-p)/pq/n, z2 = (β-p)/pq/n
z1 = (0,08-0,1)/0,1*0,9/900 = -0,02*30/0,3 = -2
z2 = (0,11-0,1)/0,1*0,9/900 = 0,01*30/0,3 = 1
P900 (0,08≤m/900≤0,11) = 1/2[Ф(1)-Ф(-2)] = 1/2[Ф(1)+Ф(2)] = (0,6827+0,9545)*0,5 = 0,8186
3.69.
А)Для того, чтобы φ(х) была плотностью вероятности некоторой случайной величины Х, она должна быть неотрицательна, т.е. φ(х)≥0 или А/(1+х2)≥0, откуда А≥0,и она должна удовлетворять свойству -∞+∞φхdx=1.
-∞+∞A/(1+x2)dx= A-∞+∞1/(1+x2)= A lim⁡(arctgx)|+∞-∞ = A(π/2-(- π/2) = A* π = 1, отсюда A = 1/ π.
б) F(x) = -∞xφxdx= 1/ π *lim(arctgx) |x-∞ =1/ π * arctgx+1/ π* π/2 =1/ π * arctgx+1/2
в) P (a≤x≤b) = abφxdx
P (-1≤x≤1) = -111π/(1+x2) = 1/ π*lim(arctgx)|1-1 = 1/ π* π/4+1/ π* π/4 = 1/2.
Г) a = -∞+∞xφxdx = 1/ π*1/2*lim(x2*arctgx) |+∞-∞, интеграл расходится.
D(x) = -∞+∞(x-a)φxdx,интеграл расходится (у математического ожидания расходится), значит дисперсии и математического ожидания для случайной величины Х не существует.
4.25.
Используя формулы F(xq)=PX<xq=q, FNx=12+1/2Ф(х-а/σ)
20%-ня точка – это квантиль х0,8, значит F(x0,8) = ½+1/2Ф((x0,8-a)/ σ) = 0,8.
Ф((50-а)/ σ) = 0,6
40%-ная точка – это квантиль x0,6, значит F(x0,6) = ½+1/2Ф((х0,6-а)/ σ)=0,6
Ф((35-а)/ σ) = 0,2
Используя табличные значения, находим, что (50-а)/ σ = 0,84 и (35-а) )/ σ = 0,25.
Получаем систему уравнений с двумя неизвестными:
50-а=0,84σ35-а=0,25σ
Вычтем из первого уравнения второе и получаем:
15= 0,59 σ, значит σ≈ 25,4, а = 35-0,25*25,4 ≈ 28,7
P(25≤x≤45) = ½(Ф((х2-а)/ σ) – Ф((х1-а)/ σ)) = ½ Ф((45-28,7)/25,4)-1/2Ф((25-28,7)/25,4) = ½ (Ф(0,64) – Ф(-0,15)).
Используя табличные значения, получаем:
P(25≤x≤45) = ½ (0,4778+0,1192) = 0,2985.

6.19
Запишем неравенство Чебышева:
P(|m-np|≤ε)≥1-npq/ ε2
По условию задачи, P(|m-0,7n|≤50) ≥1-0,7*0,3*n/2500≥0,95.
Отсюда n≤ (1-0,95)*2500/0,7*0,3, то есть n≤595
Применяя следствие интегральной теоремы Муавра-Лапласа, получаем:
P(|m-0,7n|≤50) ≈ Ф(50/n*0,7*0,3) ≥ 0,95
Используя табличные значения, получаем:
50/n*0,7*0,3 ≥ 1,96
n ≤ (50/1,96)2/0,21
n≤ 3099
8.10

xi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
ni
146 97 73 34 23 10 6 3 4 2 2
niнак
146 243 316 350 373 383 389 392 396 398 400

Xср = i=1mxini/n = (0*146+1*97+2*73+3*34+4*23+5*10+6*6+7*3+8*4+9*2+10*2)/400 = (97+146+102+92+50+36+21+32+19+20)/400 = 1,5375
n = 400 – четное, поэтому серединных вариантов два: х200 = 1 и x201 = 1, поэтому Me= (х200+ x201)/2 = 1.
Mo = 0, так как этому варианту соответствует наибольшее количество инвесторов 146.
S2= i=1m(xi-xср)2*ni/n
S2 = ((0-1,5375)2*146+(1-1,5375)2*97+(2-1,5375)2*73+(3-1,5375)2*34+(4-1,5375)2*23+(5-1,5375)2*10+(6-1,5375)2*6+(7-1,5375)2*3+(8-1,5375)2*4+(9-1,5375)2*2+(10-1,5375)2*2)/400 = 3,378781
S= S2 = 1,838146
v = S / xcp*100% = 119,554211
v1 = xcp = 1,5375
v2 = (0*146+1*97+4*73+9*34+16*23+25*10+36*6+49*3+64*4+81*2+100*2)/400 = (97+292+306+368+250+216+147+256+162+200)/400 = 5,735
v3 = (0*146+1*97+8*73+27*34+64*23+125*10+216*6+343*3+512*4+729*2+1000*2)/400 = 30,38
v4 = (0*146+1*97+16*73+81*34+256*23+625*10+1296*6+2401*3+4096*4+6561*2+10000*2)/400 = 201,605
μ1 = 0
μ2 = S2 = 3,378781
μ3 = ((0-1,5375)3*146+(1-1,5375)3*97+(2-1,5375)3*73+(3-1,5375)3*34+(4-1,5375)3*23+(5-1,5375)3*10+(6-1,5375)3*6+(7-1,5375)3*3+(8-1,5375)3*4+(9-1,5375)3*2+(10-1,5375)3*2)/400 = 11,17859
μ4 = ((0-1,5375)4*146+(1-1,5375)4*97+(2-1,5375)4*73+(3-1,5375)4*34+(4-1,5375)4*23+(5-1,5375)4*10+(6-1,5375)4*6+(7-1,5375)4*3+(8-1,5375)4*4+(9-1,5375)4*2+(10-1,5375)4*2)/400 = 79,3822
A = μ3/ S3 = 11,17859/1,838146*3,378781 = 1,79989
E = μ4/ S4 -3= 79,3822/3,378781*3,378781 = 3,95349
9.31
Найдем ty = t(0,99;8) = 3,35. Тогда доверительные границы для интервала, заключающего истинное значение измеряемой величины можно найти по формуле:
xсрвыб — ty*σв/n<a<xсрвыб + ty*σв/n
30-3,35*6/3<a<30+3,35*6/3
23,3<a<36,7
10.33
Число сданных экзаменов хi
0 1 2 3 4 сумма
Число студентов ni
1 1 1 3 35 41

Выдвигаем гипотезу Н0 о том, что случайная величина X распределена по биномиальному закону распределения, следовательно:
P(x=m) = Cnm*pm*qn-m, при p = 35/40 = 0,88
P0 = 0,000207
P1 = 0,006083
P2 = 0,066908
P3 = 0,327107
P4 = 0,599695
i xi=m ni
pi
npi
(ni-npi)^2 (ni-npi)^2/npi
1 0 1 0,000207 0,008502    
2 1 1 0,006083 0,249385    
3 2 1 0,066908 2,743235    
4 3 3 0,327107 13,41137 501,55783 30,5595201
5 4 35 0,599695 24,58751 108,41995 4,40955404
  сумма 41 1 41 609,97778 34,96907414

λ2 = i=1m(ni-npi)2/npi = 34,96 при λ2т = 3,84, значит гипотеза отвергается.
x 0 1 2 3 4
Fnx
0,0243902 0,04878 0,073171 0,146341 1
Fx
0,005 0,005 0,01 0,21 0,765
  0,0193902 0,04378 0,063171 -0,06366 0,235

Значения Fnx – это накопленные частости, а значения Fx находим применяя функцию Лапласа при математическом ожидании = np и дисперсии = npq.
Очевидно, что максимальная разница по модулю при х=4 и составляет она 0,235.
λ = Dn= 1,5 при λт = 1,36 (используем табличное значение), значит гипотеза отвергается.
11.3
Номер наблюдения (год) Технология (фактор А)

А1
А2
А3 А4
А5
1 1,2 0,6 0,9 1,7 1,0
2 1,1 1,1 0,6 1,4 1,4
3 1,0 0,8 0,8 1,3 1,1
4 1,3 0,7 1 1,5 0,9
5 1,1 0,7 1 1,2 1,2
6 0,8 0,9 1,1 1,3 1,5
Итого 6,5 4,8 5,4 8,4 7,1

Имеем m=6,n=5,найдем средние значения урожайности для каждого года:
X1ср = (1,2+0,6+0,9+1,7+1)/5 = 1,08
Х2ср = (1,1+1,1+0,6+1,4+1,4)/5 = 1,12
Аналогично:
Х3ср = 1
Х4ср = 1,08
Х5ср = 1,04
Х6ср = 1,12
Среднее значение урожайности всех технологий:
Хср = (1,08+1,12+1+1,08+1,04+1,12)/6 = 1,07
Вычислим суммы квадратов отклонений:
Q1 = 5[(1,08-1,07)2+(1,12-1,07)2+(1-1,07)2+(1,08-1,07)2+(1,04-1,07)2+(1,12-1,07)2] = 0,055
Q2 = (1,2-1,08)2+…+(1-1,08)2+(1,1-1,12)2+…+(1,4-1,12)2+(1-1)2+…+(1,1-1)2+(1,3-1,08)2+…+(0,9-1,08)2+(1,1-1,04)2+…+(1,2-1,04)2+(0,8-1,12)2+…+(1,5-1,12)2 = 2,184
Q = Q1+Q2 = 2,239
Соответствующее число степеней свободы для этих сумм m-1 = 5,mn-m = 24, mn-1 = 29.
Компоненты дисперсии Суммы квадратов Число степеней свободы Средние квадраты
Межгрупповая 0,055 5 0,011
Внутригрупповая 2,184 24 0,091
Общая 2,239 29

Фактическое F = 0,011/0,091 = 0,1209, используя табличные значения, находим F критическое = 2,76, Fфакт<Fкрит, влияние не существенно.

12.19
Ry1.2 = (0,105-0,024*0,996)/(1-0,024*0,024)(1-0,996*0,996) = 0,081096/0,089327 = 0,908
Ry2.1 = (0,024-0,105*0,996)/1-0,105*0,1051-0,996*0,996=
= -0,08058/0,08886 = -0,907
Итак, между качеством ткани (Y) и количеством наладок (Х1) существует прямая и достаточно слабая корреляционная связь (rу1=0,105). Если же устранить (элиминировать) влияние переменной «количество обрывов» (х2), то в чистом виде качество ткани (У) находится в прямой по направлению, но уже сильной по тесноте связи с количеством наладок (X1) (гу1.2= 0,908).
Итак, между качеством ткани (Y) и количеством обрывов нити (Х2) существует прямая и достаточно слабая корреляционная связь (rу2=0,024). Если же устранить (элиминировать) влияние переменной «количество наладок» (х1), то в чистом виде качество ткани (У) находится в обратной по направлению, и уже сильной по тесноте связи с количеством обрывов (X2) (гу2.1= -0,907).
Полагаем условно n’ = n-p+2 = 37-3+2 = 36
T = 0,908*36-2/1-0,908*0,908 = 12,636
T критическое по табличным значениям 2,02 и это меньше, чем наблюдаемое, значит Ry1.2 значим.
Т = -0,907*36-2/1-0,907*0,907 = — 12,9
По модулю наблюдаемое больше, чем критическое, значит Ry2.1 значим.
Ry.12 = 0,105*0,105+0,024*0,024-2*0,024*0,105*0,996/(1-0,996*0,996)
= 0,00658116/0,007984 = 0,908
т.е. между Y, с одной стороны, и X2 и X1 — с другой, существует высокая связь.
F = 0,908*0,908*34/(1-0,908*0,908)*2 = 79,8
F критическое по таблице = 3,38, это меньше, чем наблюдаемое, значит Ry.12 значим.
Множественный коэффициент детерминации R2= 0,824 показывает, что вариация качества ткани на 82,4% объясняется вариацией количества наладок и обрывов нитей.
13.10 По данным 30 нефтяных компаний получено
следующее уравнение регрессии между оценкой Y (ден.
ед.) и фактической стоимостью X (ден. ед.) этих
компаний: yx= 0,8750x + 295. Найти: 95%-ные
доверительные интервалы для среднего и индивидуального
значений оценки предприятий, фактическая
стоимость которых составила 1300 ден. ед., если
коэффициент корреляции между переменными равен 0,76,
среднее значение переменной нравно 1430 ден. ед., а ее
среднее квадратическое отклонение равно 270 ден. ед.
σ2 = (хi – xср)2/n = 72900, значит (хi – xср)2 = 2430
R = byx*Sx/Sy = 0,76, значит Sy = byx*Sx/r = 0,875*86,79/0,76 = 310,86
Syx = 310,86*310,86(130+1300-1430*(1300-1430)/2430) =
= 42,4
1432,5-2,05*42,4<M<1432,5+2,05*42,4
1346<M<1519
Syo = 310,86*310,86(1+130+1300-1430*(1300-1430)/2430) =
= 213,4
1432,5-2,05*213,4<X<1432,5+2,05*213,4
995<x<1870

1 86 Обозначим события А – прибор выходит из строя при каждом испытании