1-10.
А) Комбинации по 2 выигрышных билета из 4: С (2 из 4); комбинации по 3- 2= 1 пустой билет из 15- 4= 11: С (1 из 11); всевозможные комбинации по 3 из всех 15 билетов: С (3 из 15); искомая вероятность р= = 330*65005=0,39
Б) 5*415*1114*711*57*35=0,28

4-19.

x 0 1 2 3 4 5 6
p 0.04 0.15 0.21 0.30 0.20 0.08 0.02
Математическое ожидание находим по формуле m = ∑xipi.
Математическое ожидание M[X].
M[x] = 0*0.04 + 1*0.15 + 2*0.21 + 3*0.30 + 4*0.20 + 5*0.08 + 6*0.02 = 2.79
Дисперсию находим по формуле d = ∑x2ipi — M[x]2.
Дисперсия D[X].
D[X] = 02*0.04 + 12*0.15 + 22*0.21 + 32*0.30 + 42*0.20 + 52*0.08 + 62*0.02 — 2.792 = 1.826
Среднее квадратическое отклонение σ(x).
EQ σ(x) = r(D[X]) = r(1.826) = 1.35
Функция распределения F(X).
F(x≤0) = 0
F(0< x ≤1) = 0.04
F(1< x ≤2) = 0.15 + 0.05 = 0.2
F(2< x ≤3) = 0.21 + 0.2 = 0.41
F(3< x ≤4) = 0.30 + 0.41 = 0.71
F(4< x ≤5) = 0.20 + 0.71 = 0.91
F(5< x ≤6) = 0.08 + 0.91 = 0.99
F(x>6) = 1
Коэффициент вариации — мера относительного разброса значений совокупности: показывает, какую долю среднего значения этой величины составляет ее средний разброс.
EQ v = f(σ;xto(x)) = f(1.35;2.79) = 48.43%
Поскольку v>30% ,но v<70%, то вариация умеренная.
Наиболее точным и распространенным показателем асимметрии является моментный коэффициент асимметрии.
As = M3/σ3
где M3 — центральный момент третьего порядка.

xi pi M3 = (x-M[x])3pi M4 = (x-M[x])4pi
0 0.04 -1.086 3.03
1 0.15 -0.86 1.539
2 0.21 -0.104 0.0822
3 0.30 0.00278 0.000584
4 0.20 0.354 0.428
5 0.08 0.864 1.909
6 0.02 0.662 2.125
Итого
-0.167 9.114
As = -0.167/2.467 = -0.0677
Отрицательный знак свидетельствует о наличии левосторонней асимметрии
Для симметричных распределений рассчитывается показатель эксцесса (островершинности). Эксцесс представляет собой выпад вершины эмпирического распределения вверх или вниз от вершины кривой нормального распределения.
Чаще всего эксцесс оценивается с помощью показателя:
EQ Ex = f(M4;σ4) — 3 = f(9.114;3.33) — 3 = 2.73
где M4 — центральный момент четвертого порядка.

5-12.

Таблица для расчета показателей.

xi Кол-во, fi xi * fi Накопленная частота, S |x — xср|*f (x — xср)2*f Частота, fi/n
1 23.1 23.1 23.1 116.57 588.28 0.11
2 22.5 45 45.6 91.05 368.41 0.1
3 18.2 54.6 63.8 55.45 168.91 0.0829
4 10.8 43.2 74.6 22.1 45.23 0.0492
5 19.3 96.5 93.9 20.2 21.14 0.0879
6 21.4 128.4 115.3 0.99 0.0462 0.0975
7 21 147 136.3 20.02 19.09 0.0957
8 22.1 176.8 158.4 43.17 84.34 0.1
9 18.9 170.1 177.3 55.82 164.87 0.0861
10 21.7 217 199 85.79 339.18 0.0989
11 20.5 225.5 219.5 101.55 503.02 0.0934
Итого
219.5 1327.2 612.72 2302.53 1

Для оценки ряда распределения найдем следующие показатели:
Показатели центра распределения.
Средняя взвешенная
EQ xto(x) = f( ∑x • f;∑f)
EQ xto(x) = f(1327.2;219.5) = 6.05
Мода.
Мода — наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной совокупности.
Максимальное значение повторений при x = 1 (f = 23.1). Следовательно, мода равна 1
Медиана.
Медианой (Me) называется значение признака, приходящееся на середину ранжированной (упорядоченной) совокупности. Находим xi, при котором накопленная частота S будет больше ∑f/2 = 110. Это значение xi = 6. Таким образом, медиана равна 6

Показатели вариации.
Абсолютные показатели вариации.
Размах вариации — разность между максимальным и минимальным значениями признака первичного ряда.
R = Xmax — Xmin
R = 11 — 1 = 10
Среднее линейное отклонение — вычисляют для того, чтобы учесть различия всех единиц исследуемой совокупности.
EQ d = f(∑|xi — xto(x)| • f;∑f)
EQ d = f(612.72;219.5) = 2.79
Каждое значение ряда отличается от другого в среднем на 2.79
Дисперсия — характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего).
EQ D = f(∑(xi — xto(x))2 f;∑f)
EQ D = f(2302.53;219.5) = 10.49
Несмещенная оценка дисперсии — состоятельная оценка дисперсии (исправленная дисперсия).
EQ S2 = f(∑(xi — xto(x))2 f;∑f-1)
EQ S2 = f(2302.53;218.5) = 10.54
Среднее квадратическое отклонение (средняя ошибка выборки).
EQ σ = r(D) = r(10.49) = 3.24
Каждое значение ряда отличается от среднего значения 6.05 в среднем на 3.24
Оценка среднеквадратического отклонения.
EQ s = r(S2 ) = r(10.54) = 3.25
Коэффициент вариации — мера относительного разброса значений совокупности: показывает, какую долю среднего значения этой величины составляет ее средний разброс.
EQ v = f(σ;xto(x)) = f(3.24;6.05)100% = 53.57%
Поскольку v>30% ,но v<70%, то вариация умеренная.
Интервальное оценивание центра генеральной совокупности.
Доверительный интервал для генерального среднего.
EQ (xto(x) — tkp f(s;r(n)) ; xto(x) + tkp f(s;r(n)))
В этом случае 2Ф(tkp) = γ
Ф(tkp) = γ/2 = 0.95/2 = 0.475
По таблице функции Лапласа найдем, при каком tkp значение Ф(tkp) = 0.475
tkp(γ) = (0.475) = 1.96
EQ ε = tkp f(s;r(n)) = 1.96 f(3.25;r(219.5)) = 0.43
(6.05 — 0.43;6.05 + 0.43) = (5.62;6.48)
С вероятностью 0.95 можно утверждать, что среднее значение при выборке большего объема не выйдет за пределы найденного интервала.

Доверительный интервал для дисперсии.
Вероятность выхода за нижнюю границу равна P(χ2n-1 < hH) = (1-γ)/2 = (1-0.95)/2 = 0.025. Для количества степеней свободы k = 218.5 по таблице распределения χ2 находим:
χ2(218.5;0.025) = 241.0579.
Случайная ошибка дисперсии:
EQ tH = f((n-1)S2;hH)
EQ tH = f(218.5 • 3.252;241.0579) = 9.55
Вероятность выхода за верхнюю границу равна P(χ2n-1 ≥ hB) = 1 — P(χ2n-1 < hH) = 1 — 0.025 = 0.975. Для количества степеней свободы k = 218.5, по таблице распределения χ2 находим:
χ2(218.5;0.975) = 162.728.
Случайная ошибка дисперсии:
EQ tB = f((n-1)S2;hH)
EQ tB = f(218.5 • 3.252;162.728) = 14.15
(10.54 — 9.55; 10.54 + 14.15)
Таким образом, интервал (0.99;24.69) покрывает параметр S2 с надежностью γ = 0.95
Доверительный интервал для среднеквадратического отклонения.
S(1-q) < σ < S(1+q)
Найдем доверительный интервал для среднеквадратического отклонения с надежностью γ = 0.95 и объему выборки n = 219.5
По таблице q=q(γ ; n) определяем параметр q(0.95;219.5) = 0
3.25(1-0) < σ < 3.25(1+0)
3.25 < σ < 3.25
Таким образом, интервал (3.25;3.25) покрывает параметр σ с надежностью γ = 0.95

2-2.
Гипотезы:Н1–{изделие попало к 1-му контролёру};Н2 – {изделие попало ко 2-му контролёру};По условию Р (Н1)=0,55; Р (Н2)=0,45.Событие А {Дефект не обнаружен}Р (A|Н1)=1-0,8=0,2; Р (A|Н2)=1-0,9=0,1.По формуле полной вероятности имеемР (А) = Р (Н1)•P(A|H1)+ Р (Н2)•P(A|H2) ==0,55•0,2+0,45•0,1=0,155.
3-5.

1-10 А) Комбинации по 2 выигрышных билета из 4 С (2 из 4)