1.025. На ступенчатый цилиндрический блок намотаны в противоположных направлениях две легкие нити, нагруженные массами m1= 4 кг и m2 = 8 кг. Определить угловое ускорение блока и натяжения T 1 и T 2 нитей, если момент инерции блока I= 0,1 кг⋅м2, r = 10см, R = 20 см.
Дано:
m1=4 кг;
m2=8 кг;
J=0,1 кг∙м2;
r=0,1 м;
R=0,2 м;
ε,T1,T2-?
Решение:
Запишем проекции сил действующие на первый и второй груз:
m1a1=T1-m1g; m2a2=m2g-T2;
Выразим силы натяжения нитей:
T1=m1a1+m1g; T2=m2g-m2a2;
Моменты сил первого и второго груза:
M1=εJ1=T1r; M2=εJ2=T2R;
Складываем два предыдущих уравнения и выражаем угловое ускорение:
εJ1+εJ2=T1r+T2R; ε=T1r+T2RJ1+J2=T1r+T2RJ;
С учетом формул для натяжения нитей:
ε=m1a1+m1gr+m2g-m2a2RJ;
Тангенциальные ускорения блока для первого и второго груза:
a1=εr; a2=εR;
Подставим в уравнение для угловой скорости:
ε=m1εr+m1gr+m2g-m2εRRJ=m2gR+m1grJ+m1r2+m2R2;
Найдем искомые величины:
ε=кг*мс2*м+г*мс2*мкг∙м2+кг∙м2+кг∙м2=1с2;
T1=T2=кг*мс2+кг*мс2=Н;
ε=8*10*0,2+4*10*0,10,1+4*0,12+8*0,22=43,5;
T1=4*43,5*0,1+4*10=57,4; T2=8*10-8*43,5*0,2=10,4;
Ответ: ε=43,5 1с2; T1=57,4 Н; T2=10,4 Н.
1.055. Полная энергия тела, совершающего гармоническое колебательное движение, W = 30 мкДж, максимальная сила, действующая на тело, Fмах = 1,3 мН. Записать уравнение движения этого тела, если период колебаний Т = 2 с и начальная фаза ϕ0 = π/3.
Дано:
W=30∙10-6 Дж;
Fmax=1,3∙10-3 Н;
T=2 с;
φ0=π3;
xt-?
Решение:
Запишем уравнение движение тела, совершающего гармонические колебания в общем виде:
xt=Acosωt+φ0;
Скорость – производная от координаты:
vt=dxdt=-Aωsinωt+φ0;
Ускорение – производная от скорости:
at=dxdt=-Aω2cosωt+φ0;
Согласно второму закону Ньютона:
Fmax=mamax;
Максимальное ускорение тела согласно третьей формуле:
amax=Aω2;
С учетом этого, максимальная сила:
Fmax=mAω2;
Полная энергия равна максимальной кинетической энергии:
W=12mvmax2;
Максимальная линейная скорость связана с угловой скоростью выражением:
vmax=ωA;
С учетом этого, полная энергия:
W=12mω2A2;
Выразим массу тела:
m=2Wω2A2;
Подставим массу в уравнение для максимальной силы:
Fmax=2Wω2A2Aω2=2WA;
Выразим амплитуду колебания тела:
A=2WFmax;
Угловая скорость связана с периодом выражением:
ω=2πT;
С учетом этого, уравнение движение тела примет вид:
xt=2WFmaxcos2πTt+φ0;
Найдем числовые коэффициенты:
xt=2*30∙10-61,3∙10-3cos2π2t+π3=0,046cosπt+π3;
Ответ: xt=0,046cosπt+π3.
1.075. При адиабатном сжатии давление воздуха было увеличено от p1 = 50 кПа до p2 = 0,5 МПа. Затем при неизменном объеме температура воздуха была понижена до первоначальной. Определить давление p3 газа в конце процесса. Построить график процесса.
Дано:
p1=0,05∙106 Па;
p2=0,5∙106 Па;
T1=T3;
p3-?
Решение:
Запишем уравнение Пуассона для адиабатного процесса:
pVγ=const; p1V1γ=p2V2γ;
Отношение объемов:
V1V2=p2p11γ;
Выразим начальный объем:
V1=V2p2p11γ;
Выразим из уравнения Менделеева-Клапейрона начальную температуру:
T1=T3=μp1V1mR;
Выразим объем во втором состоянии:
V2=V2p1p21γ;
Выразим из уравнения Менделеева-Клапейрона температуру во втором состоянии:
T2=μp2V2mR;
Для изохорного процесса справедливо равенство:
V=const; p2p3=T2T3;
Выразим давление в третьем состоянии:
p3=p2T3T2;
Подставим формулы для начальной температуры, температуры во втором состоянии и отношения объемов:
p3=p2mRμp2V2μp1V1mR=p1V1V2=p1p2p11γ;
Показатель адиабаты для воздуха:
γ=1,4;
Найдем искомую величину:
p3=Па*ПаПа=Па;
p3=0,05∙106*0,5∙1060,05∙10611,4=0,0256∙106;
Ответ: p3=0,0256∙106 Па.
1.095. Кислород при неизменном давлении p = 80 кПа нагревается. Его объём увеличивается от V1 = 1 м3 до V2 = 3 м3. Определить: 1) изменение ΔU внутренней энергии кислорода; 2) работу А, совершённую им при расширении; 3) количество теплоты Q, сообщённое газу.
Дано:
p=8∙104 Па;
V1=1 м3;
V2=3 м3;
∆U,A,Q-?
Решение:
Изменение внутренней энергии газа:
∆U=mμi2RT2-T1;
где i=5 – число степеней свободы кислорода.
Согласно уравнению Менделеева-Клапейрона:
pV2-V1=mμRT2-T1;
С учетом этого, изменение внутренней энергии:
∆U=52pV2-V1; ∆U=Па*м3-м3=Дж;
Работа расширения газа при постоянном давлении:
A=pV2-V1; A=Па*м3-м3=Дж;
Количество теплоты, сообщенное газу:
Q=∆U+A; Q=Дж+Дж=Дж;
Найдем искомую величину:
∆U=52*8∙104*3-1=4∙105;
A=8∙104*3-1=1,6∙105;
Q=4∙105+1,6∙105=5,6∙105;
Ответ: ∆U=4∙105 Дж; A=1,6∙105 Дж; Q=5,6∙105 Дж.
1.105. Разность удельных теплоемкостей сp – сv некоторого двухатомного газа равна 260 Дж/(кг∙К). Определить молярную массу μ газа и его удельные теплоемкости сP и сV.
Дано:
CP-CV=260Джкг∙К;
R=8,31Джмоль∙К;
μ,CP,CV-?
Решение:
Согласно соотношению Майера:
CP-CV=Rμ;
Выразим молярную массу:
μ=RCP-CV; μ=Джмоль∙КДжкг∙К=кгмоль;
Теплоемкость при постоянном объеме:
CV=i2Rμ; CV=Джмоль∙Ккгмоль=Джкг∙К;
i=5 – число степеней свободы двухатомного газа.
Теплоемкость при постоянном давлении:
CP=i+22Rμ; CP=Джмоль∙Ккгмоль=Джкг∙К;
Найдем искомые величины:
μ=8,31260=0,032;
CV=52*8,310,032=649,22; CP=5+22*8,310,032=908,91;
Ответ: μ=0,032 кгмоль; CV=649,22 Джкг∙К; CP=908,91 Джкг∙К.
1.115. Газ, совершающий цикл Карно, получает теплоту Q1 = 84 кДж. Определить работу А газа, если температура T1 теплоотдатчика в три раза выше температуры T2 теплоприемника.
Дано:
Q1=84000 Дж;
T1=3T2;
A-?
Решение:
КПД цикла Карно выраженный через температуры:
η=T1-T2T1;
Согласно условию:
η=3T2-T23T2=23;
КПД цикла Карно выраженный через теплоту:
η=AQ1;
Работа, совершаемая газом:
A=ηQ1; A=Дж;
Найдем искомую величину:
A=23*84000=56000;
Ответ: A=56000 Дж.
1.125. Масса m = 10,5 г азота изотермически расширяется от объёма V1 = 2 л до объёма V2 = 5 л. Определить приращение энтропии при этом процессе.
Дано:
m=0,0105 кг;
μ=0,028кгмоль;
V1=0,02 м3;
V2=0,05 м3;
∆S-?
Решение:
Изменение энтропии определяется формулой:
∆S=dQT=dU+dAT;
Изменение внутренней энергии при постоянной температуре равно нулю:
dU=mμCVdT; dT=0;
Работа газа при изотермическом расширении:
dA=mμRTdVV;
С учетом этого, изменение энтропии:
∆S=mμRTdVVT;
Проинтегрируем и получим:
∆S=mμRlnV2V1; ∆S=кгкгмоль*Джмоль*К=ДжК;
Найдем искомую величину:
∆S=0,0105 0,028*8,31*ln0,050,01=5;
Ответ: ∆S=5 ДжК.
1.135 Пробковый шарик радиусом 5 мм всплывает в сосуде, наполненном касторовым маслом. Найти динамическую вязкость касторового масла, если шарик всплывает с постоянной скоростью 3,5 см/с.
Дано:
r=0,005 м;
ρпр=900 кгм3;
ρкас=200 кгм3;
v=0,035мс;
η-?
Решение:
Шарик двигается с постоянной скоростью в случае отсутствия ускорения.
Согласно второму закону Ньютона:
Fт-FA-Fтр=0;
Сила тяжести шарика:
Fт=mg;
Масса шарика:
m=ρпрV;
Объем шарика:
V=43πr3;
С учетом этого, сила тяжести:
Fт=43πr3ρпрg;
Сила Архимеда, действующая на шарик:
FA=ρкасgV;
С учетом формулы для объема шарика:
FA=43πr3ρкасg;
Сила вязкого трения:
Fтр=6πrηv;
Подставим полученные формулы в первое уравнение:
43πr3ρпрg-43πr3ρкасg-6πrηv=0;
Выразим коэффициент динамической вязкости:
η=2r2gρпр-ρкас9v; η=м2*мс2*кгм3-кгм3мс=Па∙с;
Найдем искомую величину:
η=2*0,0052*10*(900-200)9*0,035=1,1;
Ответ: η=1,1 Па∙с.