1 023 Блок массой m = 2 кг укреплен в вершине двух гладких наклонных плоскостей

1.023. Блок массой m = 2 кг укреплен в вершине двух гладких наклонных плоскостей, составляющих с горизонтом углы α = 30° и β = 45о. Тела массы m1 = 3 кг и m2 = 1 кг соединены нитью, перекинутой через блок. Определить ускорение а, с которым движутся тела. Блок можно считать однородным диском, трением в блоке пренебречь.
Дано:
m=2 кг;
α=30°;
β=45°;
m1=3 кг;
m2=1 кг;
a-?
Решение:
Согласно второму закону Ньютона для первого тела:
m1g+N+T=m1a;
Проецируем на оси X и Y:
-m1gsinβ+T=-m1a;
-m1gcosβ+N=0;
Выразим силу натяжения нити первым телом:
T=m1gsinβ-m1a;
Согласно второму закону Ньютона для второго тела:
m2g+N+T=m2a;
Проецируем на оси X и Y:
-m2gsinα+T=m2a;
-m2gcosα+N=0;
Выразим силу натяжения нити вторым телом:
T=m2gsinα+m2a;
Приравняем уравнения для силы натяжения нити и выразим ускорение тел:
m1gsinβ-m1a=m2gsinα+m2a;
a=gm1sinβ-m2sinαm1+m2;
Проверим размерность и найдем искомую величину:
a=мс2*кг-кгкг+кг=мс2;
a=9,8*3*sin45-1*sin303+1=3,97;
Ответ: a=3,97 мс2.
1.053. Материальная точка массой m = 50 г совершает колебания, уравнение которых имеет вид x = A·cosωt, где А = 10 см, ω = 5 с-1. Определить силу, действующую на точку в положении наибольшего смещения точки.
Дано:
x=Acosωt;
A=0,1 м;
ω=5 с-1;
m=0,05 кг;
F-?
Решение:
Запишем уравнение движения материальной точки с числовыми коэффициентами:
x=0,1cos5t;
Первая производная смещения (скорость):
v=dxdt=-0,5sin5t;
Вторая производная смещения (ускорение):
a=dvdt=-2,5 cos5t;
Где am=-2,5мс2 – максимальное ускорение.
Сила, действующая на материальную точку, согласно второму закону Ньютона:
F=mam;
Проверим размерность и найдем искомую величину:
F=кг*мс2=Н; F=0,05*-2,5=0,125;
Ответ: F=0,125 Н.
1.073. Какой объем V занимает при нормальных условиях смесь газов – азота массой m1 = l кг и гелия массой m2 = l кг?
Дано:
m1=1 кг;
m2=1 кг;
μ1=0,028кгмоль;
μ2=0,004кгмоль;
V-?
Решение:
Полный объем газов при нормальных условиях:
V=V1+V2;
Выразим объем азота из уравнения Менделеева-Клапейрона:
pV1=m1μ1RT; V1=m1μ1RTp;
Выразим объем гелия из уравнения Менделеева-Клапейрона:
pV2=m2μ2RT; V2=m2μ2RTp;
Подставим оба выражения для объемов в первую формулу:
V=RTpm1μ1+m2μ2;
При нормальных условиях:
T=273 К; p=105 Па;
Проверим размерность и найдем искомую величину:
V=Джмоль∙К*КПа*кгкгмоль+кгкгмоль=м3;
V=8,31*273105*10,028+10,004=6,48.
Ответ: V=6,48 м3.
1.093. Определить работу А, которую совершит азот, если ему при постоянном давлении сообщить количество теплоты Q = 21 кДж. Найти также изменение ΔU внутренней энергии.
Дано:
Q=21000 Дж;
A,∆U-?
Решение:
Количество теплоты, сообщенное газу при постоянном давлении, определяется формулой:
Q=mμCp∆T;
Изменение внутренней энергии при постоянном давлении:
∆U=mμCV∆T;
Выразим изменение внутренней энергии через количество теплоты с учетом первых двух формул:
∆U=CVCpQ;
Выразим отношение теплоемкостей с постоянным объемом и давлением:
Cp=i+22Rμ; CV=i2Rμ; CVCp=ii+2;
С учетом этого:
∆U=ii+2Q;
где i=5 – степень свободы азота (двухатомного газа).
Согласно первому началу термодинамики:
A=Q-∆U;
Проверим размерность и найдем искомые величины:
∆U=Дж; A=Дж-Дж=Дж;
∆U=55+2*21000=15000; A=21000-15000=6000;
Ответ: ∆U=15000 Дж; A=6000 Дж.
1.103. Определить отношение сp/сV для газовой смеси, состоящей из массы m1 = 8 г гелия и массы m2 = 16 г кислорода.
Дано:
m1=0,008 кг;
m2=0,016 кг;
μ1=0,004кгмоль;
μ2=0,032кгмоль;
CPCV-?
Решение:
Теплоемкость при постоянном давлении для смеси газов:
CP=CP1m1+CP2m2m1+m2;
Теплоемкость каждого газа:
CP1=i1+22∙Rμ1; CP2=i2+22∙Rμ2;
С учетом этого:
CP=i1+22∙Rμ1m1+i2+22∙Rμ2m2m1+m2;
Проведем аналогичные действия для теплоемкости при постоянном объеме:
CV=CV1m1+CV2m2m1+m2;
Теплоемкость каждого газа:
CV1=i12∙Rμ1; CV2=i22∙Rμ2;
С учетом этого:
CV=i12∙Rμ1m1+i22∙Rμ2m2m1+m2;
Подставим полученные выражения в первую формулу:
CPCV=i1+2∙m1μ1+i1+2∙m2μ2i1∙m1μ1+i2∙m2μ2;
Степени свободы для гелия (одноатомного газа) и кислорода (двухатомного газа):
i1=3; i2=5;
Молярные массы кислорода и озона соответственно:
μ1=0,032кгмоль; μ2=0,048кгмоль;
Найдем искомую величину:
CPCV=3+2*0,0080,004+5+2*0,0160,0323*0,0080,004+5*0,0160,032=1,59.
Ответ: CPCV=1,59.
1.113. Наименьший объем V1 газа, совершающего цикл Карно, равен 153 л. Определить наибольший объем V3, если объем V2 в конце изотермического расширения и объем V4 в конце изотермического сжатия равны соответственно 600 и 189 л.
Дано:
V1=0,153 м3;
V2=0,6 м3;
V4=0,189 м3;
V3-?
Решение:
Работа изотермического расширения (1-2) цикла Карно:
A=mμRTlnV2V1;
Работа изотермического сжатия (3-4) цикла Карно:
A=mμRTlnV3V4;
Приравняем первые две формулы и выразим искомый объем:
V2V1=V3V4; V3=V2V4V1;
Проверим размерность и найдем искомую величину:
V3=м3*м3м3=м3; V3=0,6*0,1890,153=0,74.
Ответ: V3=0,74.
1.123. Масса m = 6,6 г водорода расширяется изобарически от объёма V1 до объёма V2 = 2V1. Определить приращение ΔS энтропии при этом расширении.
Дано:
m=0,0066 кг;
μ=0,002кгмоль;
V2=2V1;
∆S-?
Решение:
Изменение энтропии для изопроцессов определяется формулой:
∆S=S2-S1=mμCVlnT2T1+RlnV2V1;
Выразим из уравнения состояния газа отношение температур:
p=const; TV=const; T1V1=T2V2; T2T1=V2V1;
С учетом этого:
∆S=mμCVlnV2V1+RlnV2V1=mμCPlnV2V1;
где теплоемкость при постоянном давлении:
CP=CV+R=i+22∙R;
С учетом этого:
∆S=mμ∙i+22∙R∙ln2;
Проверим размерность и найдем искомую величину:
∆S=кгкгмоль*Джмоль*К=ДжК; ∆S=0,00660,002*5+22*8,31*ln2=66,5.
Ответ: ∆S=66,5 ДжК.
1.133 Шарик всплывает с постоянной скоростью в жидкости, плотность которой в 4 раза больше плотности материала шарика. Во сколько раз сила трения, действующая на всплывающий шарик, больше силы тяжести, действующей на этот шарик?
Дано:
ρж=4ρш;
FтрFт-?
Решение:
Движение шарика будет равномерным, когда все силы действующие на него будут уравновешены:
Fтр+Fт-FА=0;
Выразим отношение силы трения к силе тяжести:
FтрFт=FА-FтFт;
Сила тяжести шарика:
Fт=mg;
Выразим массу через объем:
m=ρшV=43πr3ρш;
С учетом этого:
Fт=43πr3ρшg;
Сила Архимеда, действующая на шарик:
FА=ρжgV=43πr3ρжg;
Подставим полученные выражения во вторую формулу:
FтрFт=43πr3ρжg-43πr3ρш43πr3ρш=ρж-ρшρш;
Подставим численные значения:
FтрFт=4ρш-ρшρш=3.
Ответ: FтрFт=3.
2.013. Два одинаково заряженных шарика подвешены в одной точке на нитях одинаковой длины. При этом нити разошлись на угол α. Какова плотность ρ масла, если угол расхождения нитей при погружении в масло остается неизменным? Плотность материала шариков ρ0 = 1,5·103 кг/м3 , диэлектрическая проницаемость масла ε = 2,2.
Дано:
ρ0=1500кгм3;
ε=2,2;
ρ-?
Решение:
Шарики находятся в равновесии, следовательно все силы которые на них действуют уравновешены.
Проекции этих сил на оси:
X: Tsinα2=Fэ;
Y: Tcosα2=mg-FА;
где Fэ – сила электрического взаимодействия, FА – сила Архимеда.
Разделим первое уравнение на второе:
tanα2=Fэmg-FА;
Сила Архимеда равна:
FА=ρgV;
Выразим массу через плотность:
m=ρ0V;
С учетом этого:
tanα2=Fэρ0-ρgV;
Согласно закону Кулона:
Fэ1=kq2r2; Fэ2=kq2εr2;
где k=14πε0=9∙109 Н*м2Кл2 – постоянная из закона Кулона.
С учетом этого, пренебрегая плотностью воздуха:
tanα2=kq2r2ρ0gV; tanα2=kq2εr2ρ0-ρgV;
Приравняем два последних выражения и выразим плотность масла:
ρ=ρ0-ρ0ε;
Проверим размерность и найдем искомую величину:
ρ=кгм3-кгм3=кгм3; ρ=1500-15002,2=818;
Ответ: ρ=818 кгм3.
2.023. Поле создано точечным зарядом q = 1 нКл. Определить потенциал φ и напряжённость Е поля в точке, удалённой от заряда на расстояние r = 20 см.
Дано:
q=10-9 Кл;
r=0,2 м;
E,φ-?
Решение:
Напряженность электрического поля созданного зарядом:
E=kqr2;
где k=14πε0=9∙109 Н*м2Кл2 – постоянная из закона Кулона.
Потенциал электрического поля точечного заряда:
φ=kqr;
Проверим размерность и найдем искомые величины:
E=Н*м2Кл2*Клм2=Вм; φ=Н*м2Кл2*Клм=В;
E=9∙109*10-90,22=225; φ=9∙109*10-90,2=45;
Ответ: E=225Вм; φ=45 В.
2.033. В вакууме образовалось скопление зарядов в форме тонкого длинного цилиндра радиуса R с постоянной объемной плотностью ρ. Определить напряженность Е электрического поля в точках, отстоящих от оси цилиндра на расстояниях r1 < R и r2 > R.
Дано:
ρ,R;
E-?
Решение:
Согласно теореме Остроградского-Гаусса для положения r1 < R:
Er1=τ2πε0r=πr2ρ2πε0r=ρr2ε0;
Согласно теореме Остроградского-Гаусса для положения r2 > R:
Er2=τ2πε0r=πR2ρ2πε0r=ρR22ε0r;
ε0=8,85∙10-12Фм – электрическая постоянная.
Заряды, находящиеся вне цилиндра поля не создают.
Ответ: Er1=ρr2ε0;Er2=ρR22ε0r.
2.043. Электрическое поле создано зарядами q1 = 2 мкКл и q2 = –2 мкКл, находящимися на расстоянии а = 10 см друг от друга, определить работу сил поля, совершаемую при перемещении заряда q = 0,5 мкКл из точки 1 в точку 2.
Дано:
q=0,5∙10-6 Кл;
q1=2∙10-6 Кл;
q2=-2∙10-6 Кл;
a=0,1 м;
A-?
Решение:
Работа по перемещению заряда в электрическом поле определяется формулой:
A=qφ1-φ2;
Потенциал поля создаваемого системой зарядов равен сумме потенциалов поля создаваемых каждым зарядом отдельно. Для точки 1:
φ1=kq15a+kq22a=kaq15+q22;
Аналогично, потенциал поля в точке 2:
φ2=kq12a+kq23a=kaq12+q23;
Подставим полученные выражения в первую формулу:
A=qkaq15+q22-q12-q23=qkaq12-525+q26;
Проверим размерность и найдем искомую величину:
A=Кл*Н∙м2Кл2м*Кл+Кл=Дж;
A=0,5∙10-6*9∙1090,1*2∙10-6*2-525+2∙10-66=0,01.
Ответ: A=0,01 Дж.
2.053. Имеется плоский воздушный конденсатор, площадь каждой обкладки которого S. Определить работу, которую необходимо совершить, чтобы медленно увеличить расстояние между обкладками от х1 до х2, если при этом поддерживать неизменным: а) заряд конденсатора, равный q; б) напряжение на конденсаторе, равное U.
Дано:
S,x1,x2;
a)q=const;
b)U=const;
A-?
Решение:
Работа, которую нужно совершить для изменения расстояния между обкладками:
A=W2-W1;
Энергия конденсатора в общем виде:
W=q22C=CU22;
Электроемкость плоского конденсатора:
C=ε0εSx;
Рассмотрим случай А, заряд на обкладках не меняется:
q=const;
Энергия конденсатора в начальном и конечном положении обкладок:
W1=q22C1; W2=q22C2;
Электроемкости конденсатора для каждого положения обкладок:
C1=ε0εSx1; C2=ε0εSx2;
С учетом этого, работа по изменению расстояния между обкладками конденсатора:
A=q22C2-q22C1=q22x2ε0εS-x1ε0εS=q22ε0εSx2-x1;
Рассмотрим случай Б, напряжение на обкладках не меняется:
U=const;
Энергия конденсатора в начальном и конечном положении обкладок:
W1=C1U22; W2=C2U22;
С учетом этого, работа по изменению расстояния между обкладками конденсатора:
A=C2U22-C1U22=U22ε0εSx2-ε0εSx1=ε0εSU221x2-1×1;
Ответ: a)A=q22ε0εSx2-x1; b)A=ε0εSU221x2-1×1.
2.063. Лампочка и реостат, соединенные последовательно, присоединены к источнику тока. Напряжение на зажимах лампочки равно U = 40 В, сопротивление реостата R = 10 Ом. Внешняя цепь потребляет мощность Р = 120 Вт. Определить силу тока в цепи.
Дано:
U=40 В;
R=10 Ом;
P=120 Вт;
I-?
Решение:
Мощность внешней цепи определяется формулой:
P=Iε;
где ε – напряжение источника. Выразим это напряжение:
ε=PI;
С другой стороны, напряжение при последовательном подключении:
ε=IR+U;
Приравняем последние две формулы и решим полученное квадратное уравнение:
PI=IR+U; I2R+UI-P=0;
10I2+40I-120=0;
I=-40±8020=2;-6;
Отрицательное значение не соответствует условию задачи.
Ответ: I=2 А.
2.073. Батареи имеют ЭДС ε1 = 2 В и ε2 = 3 В, сопротивление амперметра RА = 0,5 кОм. Падение потенциала на сопротивлении R2 равно U2 = 1 В (ток через R2 направлен сверху вниз). Определить ток, текущий через амперметр на рис. 2.73.
Дано:
ε1=2 В;
ε2=3 В;
RA=500 Ом;
U2=1 В;
I3-?
Решение:
Применяя законы Кирхгофа, запишем выражения для двух контуров токов:
I1R1+U2=ε1;
I1R1+I3R3+RA=ε2;
Вычтем из второго уравнения первое:
I3R3+RA-U2=ε2-ε1;
Пренебрегая сопротивлением на третьем резисторе в сравнении с сопротивлением на амперметре:
I3RA-U2=ε2-ε1;
Выразим силу тока на амперметре:
I3=ε2-ε1+U2RA;
Проверим размерность и найдем искомые величины:
I3=В-В+ВОм=А; I3=3-2+1500=0,004;
Ответ: I3=0,004 А.
3.013. По тонкому проводнику, изогнутому в виде правильного шестиугольника со стороной а = 10 см, идет ток I = 20 А. Определить магнитную индукцию В в центре шестиугольника.α
Дано:
a=0,1 м;
I=20 А;
B-?
Решение:
Магнитная индукция, создаваемая одной стороной шестиугольника:
BAB=μ0I4πr0cos60°-cos120°=μ0I4πr0;
μ0=4π∙10-7Гнм – магнитная постоянная.
r0 – кратчайшее расстояние от центра шестиугольника до его стороны.
r0=AOsin60°=32a;
Согласно принципу суперпозиции, полная магнитная индукция в центре шестиугольника:
B=6BAB;
С учетом выражений выше:
B=6μ0I4π32a=3μ0Iπa;
Проверим размерность и найдем искомую величину:
B=Гнм*Ам=Тл; B=3*4π∙10-7*20π*0,1=1,4∙10-4.
Ответ: B=1,4∙10-4 Тл.
3.023. В одной плоскости с бесконечно длинным прямым током I1 = 5 А расположена прямоугольная рамка, обтекаемая током I2 = 1 А. Длинная сторона рамки b = 20 см параллельна току и находится от него на расстоянии r = 5 см, меньшая сторона а = 10 см. Определить работу, которую необходимо совершить, чтобы перенести рамку параллельно самой себе вправо на расстояние а.
Дано:
I1=5 А;
I2=1 А;
a=0,1 м;
b=0,2 м;
r=0,05 м;
A-?
Решение:
Чтобы переместить рамку вправо, необходимо преодолеть действие на рамку силы со стороны магнитного поля. Вертикальные составляющие равнодействующей силы уравновешивают друг друга, следовательно:
F=F1-F2;
Проводник действует на левую сторону рамки с силой:
F1=μ0I1I22πrb;
μ0=4π∙10-7Гнм – магнитная постоянная.
Проводник действует на правую сторону рамки с силой:
F1=μ0I1I22πr+ab;
Подставим полученные выражения в первую формулу:
F=μ0I1I22πrb-μ0I1I22πr+ab=μ0I1I22πb1r-1r+a;
Работа, которую необходимо выполнить для перемещения рамки:
A=Fa; A=μ0I1I22πab1r-1r+a;
Проверим размерность и найдем искомую величину:
A=Гнм*А*А*м*м*1м-1м+м=Дж;
A=4π∙10-7*5*12π*0,1*0,2*10,05-10,05+0,1=2,7∙10-7;
Ответ: A=2,7∙10-7 Дж.
3.033. Заряженная частица прошла ускоряющую разность потенциалов U = 100 В и, влетев в однородное магнитное поле с индукцией В = 0,1 Тл, стала двигаться по винтовой линии с шагом h = 6,5 см и радиусом R = 1 см. Определить отношение заряда частицы к ее массе.
Дано:
U=100 В;
B=0,1 Тл;
h=0,065 м;
R=0,01 м;
qm-?
Решение:
На заряд, влетевший в магнитное поле, действует сила Лоренца:
Fл=qBvsinα;
С другой стороны, она равна центростремительной силе:
Fцс=mvsinα2R;
Приравняем эти силы и выразим отношение заряда к массе:
qm=vsinαRB;
Кинетическая энергия заряда равна энергии ускоряющего поля:
qU=mv22;
Выразим отношение заряда к массе:
qm=v22U;
Приравняем уравнения для отношений заряда к массе и выразим скорость частицы:
vsinαRB=v22U; v=2UsinαRB;
Подставим полученное уравнение в третью формулу:
qm=2Usin2αRB2;
Период вращения частицы в магнитном поле и шаг винтовой траектории:
T=2πRvsinα; h=vcosαT;
Подставим значение периода и выразим угол, под которым частица влетает в поле:
h=vcosα2πRvsinα; cotα=cosαsinα=h2πR;
α=arccoth2πR;
С учетом этого, отношение заряда к массе частицы:
qm=2Usin2arccoth2πRRB2;
Проверим размерность и найдем искомую величину:
qm=Вм*Тл2=Клкг;
qm=2*100*sin2arccot0,0652*3,14*0,010,01*0,12=9,6∙107;
Ответ: qm=9,6∙107Клкг.
3.043. В однородном магнитном поле с индукцией В = 0,35 Тл равномерно с частотой n = 480 мин−1 вращается рамка, содержащая N = 1500 витков площадью S = 50 см2 . Ось вращения лежит в плоскости рамки и перпендикулярна линиям индукции. Определить максимальную ЭДС индукции, возникающую в рамке.
Дано:
B=0,35 Тл;
n=480 мин-1=8 с-1;
N=1500;
S=0,005 м2;
εmax-?
Решение:
Максимальное значение ЭДС индукции определяется по формуле:
εmax=NBSω;
Циклическая частота вращения рамки:
ω=2πn;
С учетом этого, ЭДС индукции:
εmax=2πnNBS;
Проверим размерность и найдем искомую величину:
εmax=с-1*Тл*м2=В;
εmax=2*3,14*8*1500*0,35*0,005=132;
Ответ: εmax=132 В.
3.053. Участок цепи состоит из параллельно соединенных катушки с индуктивностью L =1,0 Гн и активным сопротивлением R = 100 Ом и конденсатора емкостью С = 4 мкФ. Определить эквивалентное сопротивление участка. Частота подаваемого на участок напряжения равна 50 Гц.
Дано:
n=50 Гц;
C=4∙10-6 Ф;
L=1 Гн;
R=100 Ом;
Z-?
Решение:
Векторные диаграммы для участка цепи с катушкой и полной цепи соответственно:
Полное напряжение на катушке:
U=UL2+UR2;
Выразим напряжения через силу тока и сопротивления:
U=I2Z2; UL=I2XL; UR=I2R;
С учетом этого:
Z2=XL2+R2;
Полная сила тока цепи:
I=I1+I2
I=I12+I22-2I1I2cosα;
Выразим силы тока как отношение напряжений к сопротивлению:
I=UZ; I1=UXC; I2=UZ2;
Выразим разность фаз используя диаграммы:
cosα=XCZ2;
С учетом выражений выше:
UZ=UXC2+UZ22-2UXCUZ2XCZ2=U1XC2+1Z22-2Z22;
Сократим на напряжение и выразим полное сопротивление:
Z=11XC2-1Z22=1Z22-XC2XC2Z22=XCZ2Z22-XC2=XCXL2+R2XL2+R2-XC2;
Сопротивления на конденсаторе и катушке соответственно равны:
XC=12πnC; XL=2πnL;
С учетом этого, полное сопротивление:
Z=12πnC*2πnL2+R22πnL2+R2-12πnC2;
Проверим размерность и найдем искомую величину:
Z=1Гц*Ф*Гц*Гн2+м2Гц*Гн2+м2-1Гц*Ф2=Ом;
Z=12*3,14*50*4∙10-6 *2*3,14*50*12+10022*3,14*50*12+1002-12*3,14*50*4∙10-6 2=3,6∙102;
Ответ: Z=3,6∙102 Ом.
3.063. Установка для получения колец Ньютона освещается монохроматическим светом, падающим по нормали к поверхности пластинки. Радиус кривизны линзы R = 15 м. Расстояние между пятым и двадцать пятым светлыми кольцами Ньютона, наблюдаемыми в отраженном свете, равно ∆r25,5 = 9 мм. Определить длину волны λ монохроматического света.
Дано:
∆r25,5=0,009 м;
R=15 м;
λ-?
Решение:
Радиус светлого кольца Ньютона определяется по формуле:
rk=kλR;
Согласно условию, для пятого и двадцать пятого кольца:
r5=5λR; r25=25λR;
Расстояние между кольцами:
∆r25,5=r25-r5;
С учетом первых двух формул:
∆r25,5=25λR-5λR=λR5-5;
Выразим длину волны:
λ=∆r25,52R5-5;
Проверим размерность и найдем искомую величину:
λ=м2м=м; λ=0,009215*5-5=1,95∙10-6;
Ответ: λ=1,95∙10-6 м.
3.073. На дифракционную решетку, содержащую n = 500 штрихов на 1 мм, падает в направлении нормали к ее поверхности белый свет. Спектр проецируется помещенной вблизи решетки линзой на экран. Определить ширину b спектра первого порядка на экране, если расстояние L линзы до экрана равно 3 м. Границы видимости спектра λкр = 780 нм, λф = 400 нм.
Дано:
λкр=780∙10-9 м;
λф=400∙10-9 м;
n=500;
l=0,001 м;
L=3 м;
b-?
Решение:
Условие дифракционного максимума первого порядка для красного света:
dsinφкр=λкр;
Для фиолетового луча света:
dsinφф=λф;
Период дифракционной решетки:
d=ln;
С учетом этого:
lnsinφкр=λкр; lnsinφф=λф;
Выразим углы дифракции для каждого луча:
φкр=arcsinλкрnl; φф=arcsinλфnl;
Как видно на рисунке, ширина спектра:
b=Ltanφкр-Ltanφф;
b=Ltanarcsinλкрnl-tanarcsinλфnl;
Найдем искомую величину:
b=3*tanarcsin780∙10-9*5000,001-tanarcsin400∙10-9*5000,001=0,66.
Ответ: b=0,66 м.
3.083. Определить угол ϕ между главными плоскостями поляризатора и анализатора, если интенсивность естественного света, проходящего через поляризатор и анализатор, уменьшается в 4 раза.
Дано:
I2I0=14;
φ-?
Решение:
Интенсивность света после прохождения поляризатора:
I1=12I0;
Интенсивность на выходе из анализатора:
I2=I1cos2φ;
Подставим первое уравнение во второе:
I2=12I0cos2φ;
Выразим угол между плоскостями поляризации:
φ=arccos2I2I0;
Найдем искомую величину:
φ=arccos2*14=45°.
Ответ: φ=45°.
4.013. Определить длину волны, на которую приходится максимум спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела, имеющего температуру Т = 310 К.
Дано:
T=310 К;
λmax-?
Решение:
Длина волны соответствующая максимуму спектральной светимости согласно закону смещения Вина:
λmax=bT;
где b=0,002897 м∙К – постоянная Вина.
Проверим размерность и найдем искомую величину:
λmax=м∙КК=м; λmax=0,002897310=9,34∙10-6.
Ответ: λmax=9,34∙10-6.
4.023. Длина волны света, соответствующая красной границе фотоэффекта, для некоторого металла λ0 = 275 нм. Определить минимальную энергию ε фотона, вызывающего фотоэффект.
Дано:
λ0=275∙10-9 м;
εmin-?
Решение:
Минимальная энергия кванта света равна работе выхода электрона из металла:
εmin=Aвых;
Работа выхода выраженная через красную границу фотоэффекта:
Aвых=hcλ0;
С учетом этого:
εmin=hcλ0;
Постоянная Планка и скорость света соответственно:
h=6,63∙10-34 Дж∙с; c=3∙108мс;
Проверим размерность и найдем искомую величину:
εmin=Дж∙с*мсм=Дж; εmin=6,63∙10-34*3∙108275∙10-9=7,2∙10-19;
Ответ: εmin=7,2∙10-19 Дж.
4.033. Давление Р монохроматического света с длиной волны λ = 600 нм на черную поверхность, расположенную перпендикулярно падающим лучам, равно 0,1 мкПа. Определить число N фотонов, падающих за время t =1 с на поверхность площадью S = 1 см2 .
Дано:
λ=600∙10-9 м;
p=0,1∙10-6 Па;
t=1 с;
S=10-4 м2;
N-?
Решение:
Давление света на поверхность черного тела определяется формулой:
p=Ec;
Освещенность поверхности:
E=WSt;
Полная энергия равна энергии N фотонов:
W=εN=hcλN;
Подставим полученные выражения в первую формулу:
p=hNλSt;
Выразим количество фотонов:
N=pStλh;
Постоянная Планка:
h=6,63∙10-34 Дж∙с;
Проверим размерность и найдем искомую величину:
N=Па*м2*с*мДж∙с=1; N=0,1∙10-6*10-4*1*600∙10-96,63∙10-34=9∙10-15.
Ответ: N=9∙10-15.
4.043. Определить изменение энергии ΔЕ электрона в атоме водорода при излучении атомом фотона с частотой ν = 6,28·1014 Гц.
Дано:
ν=6,28∙1014 Гц;
∆E-?
Решение:
Изменение кинетической энергии электрона равно энергии испущенного кванта:
∆E=ε;
Энергия фотона:
ε=hν;
С учетом этого:
∆E=hν;
Постоянная Планка:
h=6,63∙10-34 Дж∙с;
Проверим размерность и найдем искомую величину:
∆E=Дж∙с*Гц=Дж;
∆E=6,63∙10-34*6,28∙1014=4,16∙10-19;
Ответ: ∆E=4,16∙10-19 Дж.
4.053. Электрон движется по окружности радиусом r = 0,5 см в однородном магнитном поле с индукцией В = 8 мТл. Определить длину волны де Бройля λ электрона.
Дано:
B=8∙10-3 Тл;
r=0,005 м;
λ-?
Решение:
На электрон в магнитном поле действует сила Лоренца, которая равна центростремительной силе:
eBv=mv2r;
Выразим произведение массы на скорость (импульс):
mv=eBr;
Длина волны де Бройля связана с импульсом выражением:
λ=hp=hmv;
Подставим формулу для импульса:
λ=heBr;
Постоянная Планка и заряд электрона:
h=6,63∙10-34 Дж∙с; e=1,6∙10-19 Кл;
Проверим размерность и найдем искомую величину:
λ=Дж∙сКл*Тл*м=м; λ=6,63∙10-341,6∙10-19*8∙10-3*0,005=10-10.
Ответ: λ=10-10 м.
4.063. Используя соотношение неопределенностей, оценить ширину l одномерного потенциального ящика, в котором минимальная энергия электрона Еmin = 10 эВ.
Дано:
Emin=10 эВ=1,6∙10-18 Дж;
l-?
Решение:
Согласно соотношению неопределенностей Гейзенберга:
∆x∙∆p≥h2π;
Выразим неопределенность импульса:
∆p=h2π∆x;
Кинетическая энергия электрона, выраженная через импульс:
Emin=∆p22m;
Подставим значение для неопределенности импульса:
Emin=h28π2∆x2m;
Выразим ширину потенциального ящика:
l=∆x=hπ8mEmin;
Постоянная Планка и масса электрона:
h=6,63∙10-34 Дж∙с; m=9,1∙10-31 кг;
Проверим размерность и найдем искомую величину:
l=Дж∙скг*Дж=м; l=6,63∙10-343,14*8*9,1∙10-31*1,6∙10-18=6,2∙10-11.
Ответ: l=6,2∙10-11 м.
4.073. Определить, за какое время t распадается 1/4 начального количества ядер радиоактивного изотопа, если период его полураспада Т1/2 = 24 ч.
Дано:
N0-N=14N0;
T12=86400 с;
t-?
Решение:
Согласно закону радиоактивного распада:
N=N0e-λt;
Количество распавшихся ядер:
N0-N=N01-e-λt;
Постоянная распада:
λ=ln2T12;
Время распада ядер:
t=-1λlnNN0; t=-T12ln2lnNN0;
Найдем искомую величину:
t=-86400ln2ln0,75=35859.
Ответ: t=35859 с.
4.083. Вычислить энергию Q, выделяющуюся при реакции.
Дано:
12H+12H→23He+01n;
Q-?
Решение:
Энергия, выделяющаяся при реакции равна разности энергий в начальном и конечном состоянии реакции:
Q=∆mc2;
Дефект масс реакции в атомных единицах массы:
∆m=m12H+m12H-m23He-m01n;
С учетом этого, выделяемая энергия:
Q=m12H+m12H-m23He-m01nc2;
c2=931МэВаем;
Найдем искомую величину:
Q=аем*МэВаем=МэВ;
Q=2,0141+2,0141-3,01493-0,008665*931=935,29;
Ответ: Q=935,29 МэВ.